Олимпиадные задачи по теме «Принцип Дирихле» для 2-10 класса - сложность 4 с решениями

Рассмотрим граф, у которого вершины соответствуют всевозможным трёхэлементным подмножествам множества  {1, 2, 3, ..., 2<i>^k</i>},  а рёбра проводятся между вершинами, которые соответствуют подмножествам, пересекающимся ровно по одному элементу. Найдите минимальное количество цветов, в которые можно раскрасить вершины графа так, чтобы любые две вершины, соединённые ребром, были разного цвета.

По шоссе в одном направлении едут 10 автомобилей. Шоссе проходит через несколько населённых пунктов. Каждый из автомобилей едет с некоторой постоянной скоростью в населённых пунктах и с некоторой другой постоянной скоростью вне населённых пунктов. Для разных автомобилей эти скорости могут отличаться. Вдоль шоссе расположено 2011 флажков. Известно, что каждый автомобиль проехал мимо каждого флажка, причём около флажков обгонов не происходило. Докажите, что мимо каких-то двух флажков автомобили проехали в одном и том же порядке.

100 красных точек разделили синюю окружность на 100 дуг, длины которых являются всеми натуральными числами от 1 до 100 в произвольном порядке. Докажите, что существуют две перпендикулярные хорды с красными концами.

Две команды шахматистов одинаковой численности сыграли матч: каждый сыграл по одному разу с каждым из другой команды. В каждой партии давали 1 очко за победу, ½ – за ничью и 0 – за поражение. В итоге команды набрали поровну очков. Докажите, что какие-то два участника матча тоже набрали поровну очков, если в обеих командах было:

  а) по 5 шахматистов;

  б) произвольное равное число шахматистов.

Среди натуральных чисел от 1 до 1200 выбрали 372 различных числа так, что никакие два из них не различаются на 4, 5 или 9. Докажите, что число 600 является одним из выбранных.

Какое минимальное количество клеток можно закрасить черным в белом квадрате 300×300, чтобы никакие три черные клетки не образовывали уголок, а после закрашивания любой белой клетки это условие нарушалось?

На плоскости отмечено<i> N<img src="/storage/problem-media/110154/problem_110154_img_2.gif"> </i>3различных точек. Известно, что среди попарных расстояний между отмеченными точками встречаются не более<i> n </i>различных расстояний. Докажите, что<i> N<img src="/storage/problem-media/110154/problem_110154_img_3.gif"> </i>(<i>n+</i>1)<i>² </i>.

Можно ли расположить в пространстве 12 прямоугольных параллелепипедов<i> P₁ </i>,<i> P₂ </i>,<i> P</i>12, ребра которых параллельны координатным осям<i> Ox </i>,<i> Oy </i>,<i> Oz </i>так, чтобы<i> P₂ </i>пересекался (т.е. имел хотя бы одну общую точку) с каждым из оставшихся, кроме<i> P₁ </i>и<i> P₃ </i>,<i> P₃ </i>пересекался с каждым из оставшихся, кроме<i> P₂ </i>и<i> P₄ </i>, и т.д.,<i> P</i>12пересекался с каждым из оставшихся, кроме<i> P</i...

В стране 1001 город, каждые два города соединены дорогой с односторонним движением. Из каждого города выходит ровно 500 дорог, в каждый город входит ровно 500 дорог. От страны отделилась независимая республика, в которую вошли 668 городов. Докажите, что из каждого города этой республики можно доехать до любого другого ее города, не выезжая за пределы республики.

Найдите наибольшее натуральное число <i>N</i>, для которого при произвольной расстановке различных натуральных чисел от 1 до 400 в клетках квадратной таблицы 20×20 найдутся два числа, стоящих в одной строке или одном столбце, разность которых будет не меньше <i>N</i>.

Клетки таблицы 100×100 окрашены в 4 цвета так, что в каждой строке и в каждом столбце ровно по 25 клеток каждого цвета.

Докажите, что найдутся две строки и два столбца, все четыре клетки на пересечении которых окрашены в разные цвета.

В клетках таблицы 10×10 расставлены числа 1, 2, 3, ..., 100 так, что сумма любых двух соседних чисел не превосходит <i>S</i>.

Найдите наименьшее возможное значение <i>S</i>. (Числа называются соседними, если они стоят в клетках, имеющих общую сторону.)

В однокруговом футбольном турнире играли &nbsp<i>n</i> > 4  команд. За победу давалось 3 очка, за ничью 1, за проигрыш 0. Оказалось, что все команды набрали поровну очков.

  а) Докажите, что найдутся четыре команды, имеющие поровну побед, поровну ничьих и поровну поражений.

  б) При каком наименьшем <i>n</i> могут не найтись пять таких команд?

У ведущего есть колода из 52 карт. Зрители хотят узнать, в каком порядке лежат карты (при этом не уточняя   сверху вниз или снизу вверх). Разрешается задавать ведущему вопросы вида "Сколько карт лежит между такой-то и такой-то картами?". Один из зрителей подсмотрел, в каком порядке лежат карты. Какое наименьшее число вопросов он должен задать, чтобы остальные зрители по ответам на эти вопросы могли узнать порядок карт в колоде?

Для каждой пары действительных чисел<i>a</i>и<i>b</i>рассмотрим последовательность чисел<i>p</i>_n= [2{<i>an</i>+<i>b</i>}]. Любые<i>k</i>подряд идущих членов этой последовательности назовем словом. Верно ли, что любой упорядоченный набор из нулей и единиц длины<i>k</i>будет словом последовательности, заданной некоторыми<i>a</i>и<i>b</i>при<i>k</i>= 4; при<i>k</i>= 5? Примечание: [<i>c</i>] - целая часть, {<i>c</i>} - дробная часть числа <i>c</i>.

На пол положили правильный треугольник<i>ABC</i>, выпиленный из фанеры. В пол вбили три гвоздя (по одному вплотную к каждой стороне треугольника) так, что треугольник невозможно повернуть, не отрывая от пола. Первый гвоздь делит сторону<i>AB</i>в отношении 1 : 3, считая от вершины<i>A</i>, второй делит сторону<i>BC</i>в отношении 2 : 1, считая от вершины<i>B</i>. В каком отношении делит сторону<i>AC</i>третий гвоздь?

На плоскости дано конечное число полос, сумма ширин которых равна 100, и круг радиуса 1.

Докажите, что каждую из полос можно параллельно перенести так, чтобы все они вместе покрыли круг.

В таблице 2<i>ⁿ×n</i> были выписаны всевозможные строки длины <i>n</i> из чисел 1 и –1. Затем часть чисел заменили нулями. Докажите, что можно выбрать несколько строк, сумма которых есть строка из нулей. (Суммой строк называется строка, элементы которой являются суммами соответствующих элементов слагаемых.)

Петя разрезал прямоугольный лист бумаги по прямой. Затем он разрезал по прямой один из получившихся кусков. Затем он проделал то же самое с одним из трёх получившихся кусков и т.д. Докажите, что после достаточного количества разрезаний можно будет выбрать среди получившихся кусков 100 многоугольников с одинаковым числом вершин (например, 100 треугольников или 100 четырёхугольников и т.д.).

Докажите, что первые цифры чисел вида 2^2ⁿ образуют непериодическую последовательность.

Дима придумал секретный шифр: каждая буква заменяется на слово длиной не больше 10 букв. Шифр называется <i>хорошим</i>, если всякое зашифрованное слово расшифровывается однозначно. Серёжа убедился (с помощью компьютера), что если зашифровать слово длиной не больше 10000 букв, то результат расшифровывается однозначно. Следует ли из этого, что шифр хороший? (В алфавите 33 буквы, под "словом" мы понимаем любую последовательность букв, независимо от того, имеет ли она смысл.)

В таблице из <i>n</i> столбцов и 2^<i>n</i> строк, в которых выписаны все возможные различные наборы из <i>n</i> чисел 1 и –1, некоторые числа заменены нулями. Докажите, что можно выбрать некоторое непустое подмножество строк так, что:

  а) сумма всех чисел в выбранных строках равна 0;

  б) сумма всех выбранных строк есть нулевая строка.

(Строки складываются покоординатно как векторы.)

30 учеников одного класса решили побывать друг у друга в гостях. Известно, что ученик за вечер может сделать несколько посещений, и что в тот вечер, когда к нему кто-нибудь должен прийти, он сам никуда не уходит. Покажите, что для того, чтобы все побывали в гостях у всех,

  а) четырёх вечеров недостаточно,

  б) пяти вечеров также недостаточно,

  в) а десяти вечеров достаточно,

  г) и даже семи вечеров тоже достаточно.

На прямоугольном листе бумаги нарисован круг, внутри которого Миша мысленно выбирает<i>n</i>точек, а Коля пытается их разгадать. За одну попытку Коля указывает на листе (внутри или вне круга) одну точку, а Миша сообщает Коле расстояние от нее до ближайшей неразгаданной точки. Если оно оказывается нулевым, то после этого указанная точка считается разгаданной. Коля умеет отмечать на листе точки, откладывать расстояния и производить построения циркулем и линейкой. Может ли Коля наверняка разгадать все выбранные точки менее, чем за (<i>n</i>+1)²попыток?

<i>X</i>и<i>Y</i>— два выпуклых многоугольника, причём многоугольник<i>X</i>содержится внутри<i>Y</i>. Пусть<i>S</i>(<i>X</i>) и<i>S</i>(<i>Y</i>) — площади этих многоугольников, а<i>P</i>(<i>X</i>) и<i>P</i>(<i>Y</i>) — их периметры. Доказать, что${\frac{S(X)}{P(X)}}$< 2^.${\frac{S(Y)}{P(Y)}}$.