Олимпиадные задачи по теме «Индукция» для 9 класса - сложность 1 с решениями

Даны два выпуклых многоугольника<i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃<i>A</i>₄...<i>A</i>_nи<i>B</i>₁<i>B</i>₂<i>B</i>₃<i>B</i>₄...<i>B</i>_n. Известно, что<i>A</i>₁<i>A</i>₂=<i>B</i>₁<i>B</i>₂,<i>A</i>₂<i>A</i>₃=<i>B</i><sub>2</su...

На плоскости проведено<i>n</i>прямых линий. Доказать, что области, на которые эти прямые разбивают плоскость, можно так закрасить двумя красками (каждая область закрашивается только одной краской), что никакие две соседние области (т.е. области, соприкасающиеся только по отрезку прямой) не будут закрашены одной и той же краской.

Докажите неравенство  2^{<i>m+n</i>–2} ≥ <i>mn</i>,  где <i>m</i> и <i>n</i> – натуральные числа.

Докажите неравенство:  2<i>ⁿ > n</i>.

Докажите неравенство для натуральных  <i>n</i> > 1:   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/60304/problem_60304_img_2.gif">

Докажите, что для всех натуральных <i>n</i> число, записываемое 3^<i>n</i> единицами, делится на 3^<i>n</i>.

Докажите тождество:${\dfrac{1^2}{1\cdot3}}$+${\dfrac{2^2}{3\cdot5}}$+...+${\dfrac{n^2}{(2n-1)(2n+1)}}$=${\dfrac{n(n+1)}{2(2n+1)}}$.

Докажите тождество: 1²+ 3²+...+ (2<i>n</i>- 1)²=$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$<i>n</i>(2<i>n</i>- 1)(2<i>n</i>+ 1).

Докажите тождество: 1²+ 2²+...+<i>n</i>²=$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{6}}$<i>n</i>(<i>n</i>+ 1)(2<i>n</i>+ 1).

Докажите тождество: 1 + 3 + 5 +...+ (2<i>n</i>– 1) =<i>n</i>².

Число<i>x</i>таково, что число<i>x</i>+${\dfrac{1}{x}}$ — целое. Докажите, что при любом натуральном<i>n</i>число<i>x</i>ⁿ+${\frac{1}{x^n}}$также является целым.

Известно, что  <i>x</i> + ¹/_<i>x</i>  – целое число. Докажите, что  <i>xⁿ</i> + ¹/_<i>xⁿ</i>  – также целое при любом целом <i>n</i>.

Несколько прямых делят плоскость на части. Докажите, что эти части можно раскрасить в 2 цвета так, что граничащие части будут иметь разный цвет.