Олимпиадные задачи по теме «Действительные числа» для 5-7 класса - сложность 2-3 с решениями

Бесконечная последовательность чисел <i>x_n</i> определяется условиями:  <i>x</i>_<i>n</i>+1 = 1 – |1 – 2<i>x_n</i>|,  причём  0 ≤ <i>x</i>₁ ≤ 1.

  а) Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая в том и только в том случае, когда <i>x</i>₁ рационально.

  б) Сколько существует значений <i>x</i>₁, для которых эта последовательность – периодическая с периодом <i>T</i> (для каждого <i>T</i> = 2, 3, ...)?

На доску записали числа $1$, $2$, ..., $100$. Далее за ход стирают любые два числа $a$ и $b$, где $a\geqslant b>0$, и пишут вместо них одно число $[a/b]$. После $99$ ходов на доске останется одно число. Каким наибольшим оно может быть? (Напомним, что $[x]$ — это наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)

Известно, что  <i>а</i> > 1.  Обязательно ли имеет место равенство  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65593/problem_65593_img_2.gif"> = <img align="middle" src="/storage/problem-media/65593/problem_65593_img_3.gif">?

Пусть число α задаётся десятичной дробью

  а) 0,101001000100001000001...;

  б) 0,123456789101112131415....

Будет ли это число рациональным?

Доказать, что если несократимая рациональная дробь  ^<i>p</i>/_<i>q</i>  является корнем многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) с целыми коэффициентами, то  <i>P</i>(<i>x</i>) = (<i>qx – p</i>)<i>Q</i>(<i>x</i>),  где многочлен <i>Q</i>(<i>x</i>) также имеет целые коэффициенты.