Олимпиадные задачи по теме «Отношение порядка» для 11 класса

На берегу круглого острова Гдетотам расположено 20 деревень, в каждой живёт по 20 борцов. Был проведён турнир, в котором каждый борец встретился со всеми борцами из всех других деревень. Деревня <i>А</i> считается сильнее деревни <i>Б</i>, если хотя бы <i>k</i> поединков между борцами из этих деревень заканчивается победой борца из деревни <i>А</i>. Выяснилось, что каждая деревня сильнее следующей за ней по часовой стрелке. Какое наибольшее значение может иметь <i>k</i>? (У всех борцов разная сила, и в поединке всегда побеждает сильнейший.)

В соревновании участвуют 16 боксёров. Каждый боксёр в течение одного дня может проводить только один бой. Известно, что все боксёры имеют разную силу, и что сильнейший всегда выигрывает. Докажите, что за 10 дней можно определить место каждого боксёра.

(Расписание каждого дня соревнований составляется вечером накануне и в день соревнований не изменяется.)

Натуральные числа от 1 до 100 раскрашены в три цвета: 50 чисел – в красный, 25 чисел – в жёлтый и 25 – в зелёный. Известно, что все красные и жёлтые числа можно разбить на 25 троек так, чтобы в каждой тройке было два красных числа и одно жёлтое, которое больше одного красного и меньше другого. Аналогичное утверждение верно для красных и зелёных чисел. Обязательно ли все 100 чисел можно разбить на 25 четвёрок, в каждой из которых два красных числа, одно жёлтое и одно зелёное, при этом жёлтое и зелёное числа лежат между красными?

На соревнованиях по фигурному велосипедированию было 100 судей. Каждый судья упорядочил всех участников (от лучшего по его мнению – к худшему). Оказалось, что ни для каких трёх участников <i>A, B, C</i> не нашлось трёх судей, один из которых считает, что <i>A</i> – лучший из трёх, а <i>B</i> – худший, другой – что <i>B</i> лучший, а <i>C</i> худший, а третий – что <i>C</i> лучший, а <i>A</i> худший. Докажите, что можно составить общий рейтинг участников так, чтобы для каждых двух участников <i>A</i> и <i>B</i> тот, кто выше в рейтинге, был бы лучше другого по мнению хотя бы половины судей.

Пусть  α = (α₁, ..., α_<i>n</i>)  и  β = (β₁, ..., β_<i>n</i>)  – два набора показателей с равной суммой.

Докажите, что, если  α ≠ β,  то при всех неотрицательных  <i>x</i>₁, ..., <i>x_n</i>  выполняется неравенство  <i>T</i>_α(<i>x</i>₁, ..., <i>x_n</i>) ≥ <i>T</i>_β(<i>x</i>₁, ..., <i>x_n</i>).

Определение многочленов <i>T</i>_α смотри в задаче <a href="https://...

Пусть  <i>T</i>_α(<i>x, y, z</i>) ≥ <i>T</i>_β(<i>x, y, z</i>)  для всех неотрицательных <i>x, y, z</i>. Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61423/problem_61423_img_2.gif"> Определение многочленов <i>T</i>_α смотри в задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161417">161417</a>, про показатели смотри в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=4#diagramma_junga">справочнике</a>.

а) Диаграммы Юнга  (4, 1, 1)  и  (3, 3, 0)  не сравнимы, – ни одна из них не мажорирует другую. Есть ли еще такие несравнимые наборы с суммой 6? б) Найдите все несравнимые пары наборов для  <i>s</i> = 7. Про диаграммы Юнга смотри <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=4#diagramma_junga">здесь</a>.

Нарисуйте все лестницы из четырёх кирпичей в порядке убывания, начиная с самой крутой  (4, 0, 0, 0)  и заканчивая самой пологой  (1, 1, 1, 1).

Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61420/problem_61420_img_2.gif">   тогда и только тогда, когда β можно получить из α проделав несколько (может быть один раз или ни одного) операции вида <div align="CENTER">(<i>k,  j, i</i>)   ↔   (<i>k</i> – 1,  <i>j</i> + 1, <i>i</i>),     (<i>k,  j, i</i>)   ↔   (<i>k</i> – 1, <i>j, i</i> + 1),     (<i>k, j, i</i>)   ↔ (<i>k,  j</i> – 1, <i>i</i> + 1). </div>(Эти операции можно представлять себе как сбрасывание одного кирпича вниз на диаграмме Юнга. Про диаграммы Юнга смотри <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=4#diagramma_junga">зд...