Олимпиадные задачи по теме «Производящие функции» для 6-9 класса - сложность 2 с решениями

а) Для каждого трёхзначного числа берём произведение его цифр, а затем эти произведения, вычисленные для всех трёхзначных чисел, складываем. Сколько получится? б) Тот же вопрос для четырёхзначных чисел.

Берутся всевозможные непустые подмножества из множества чисел   1, 2, 3, ..., <i>n</i>.  Для каждого подмножества берётся величина, обратная к произведению всех его чисел. Найти сумму всех таких обратных величин.

Определить коэффициенты, которые будут стоять при <i>x</i>¹⁷ и <i>x</i>¹⁸ после раскрытия скобок и приведения подобных членов в выражении <div align="CENTER">(1 + <i>x</i>⁵ + <i>x</i>⁷)²⁰. </div>

Обозначим через <i>d</i>(<i>n</i>) количество разбиений числа <i>n</i> на различные слагаемые, а через <i>l</i>(<i>n</i>) – на нечётные. Докажите равенства:   а)  <i>d</i>(0) + <i>d</i>(1)<i>x</i> + <i>d</i>(2)<i>x</i>² + ...  =  (1 + <i>x</i>)(1 + <i>x</i>²)(1 + <i>x</i>³)...;   б)  <i>l</i>(0) + <i>l</i>(1)<i>x</i> + <i>l</i>(2)<i>x</i>² + ...  =  (1 – <i>x</i>)^–1(1 – <i>x</i>³)^–1(1 – <i>x</i>⁵)^–1...;   в)  <i>d</i>(<i>n</i>)...

Пусть <i>p</i>(<i>n</i>) – количество разбиений числа <i>n</i> (определение разбиений смотри <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=16#Razbienia">здесь</a>). Докажите равенства:

<div align="center"><i>p</i>(0) + <i>p</i>(1)<i>x</i> + <i>p</i>(2)<i>x</i> '' + ...  =  (1 + <i>x</i> + <i>x</i>² + ...)...(1 + <i>x^k</i> + <i>x</i>^2<i>k</i> + ...)...  =  (1 – <i>x</i>)^–1(1 – <i>x</i>²)^–1(1 – <i>x</i>³)^–1... </div> (По определению сч...

Вычислите производящие функции следующих последовательностей:

а)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61497/problem_61497_img_2.gif">   б)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61497/problem_61497_img_3.gif">