Олимпиадные задачи по теме «Стереометрия» для 10 класса - сложность 1 с решениями

В пространстве заданы три луча: <i>DA</i>, <i>DB</i> и <i>DC</i>, имеющие общее начало <i>D</i>, причём ∠<i>ADB</i> = ∠<i>ADC</i> = ∠<i>BDC</i> = 90°. Сфера пересекает луч <i>DA</i> в точках <i>A</i>₁ и <i>A</i>₂, луч <i>DB</i> – в точках <i>B</i>₁ и <i>B</i>₂, луч <i>DC</i> – в точках <i>C</i>₁ и <i>C</i>₂. Найдите площадь треугольника <i>A</i>₂<i>B</i>₂<i>C</i><sub>2</s...

Три сферы попарно касаются внешним образом, а также касаются некоторой плоскости в вершинах прямоугольного треугольника с катетом 1 и противолежащим углом 30°. Найдите радиусы сфер.

Еще Архимед знал, что шар занимает ровно<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115708/problem_115708_img_2.gif"> </i>объема цилиндра, в который он вписан (шар касается стенок, дна и крышки цилиндра). В цилиндрической упаковке находятся 5 стоящих друг на друге шаров. Найдите отношение пустого места к занятому в этой упаковке.

<center><i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115708/problem_115708_img_3.gif"> </i></center>

Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды с боковым ребром<i> b </i>и высотой<i> h </i>.

Найдите объём правильной треугольной пирамиды с боковым ребром<i> b </i>и высотой<i> h </i>.

Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды с высотой<i> h </i>и углом<i> β </i>боковой грани с плоскостью основания.

Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды с боковым ребром<i> b </i>и углом<i> β </i>боковой грани с плоскостью основания.

Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>и углом<i> β </i>боковой грани с плоскостью основания.

Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>и углом<i> α </i>бокового ребра с плоскостью основания.

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды с высотой<i> h </i>и углом<i> β </i>боковой грани с плоскостью основания.

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды с боковым ребром<i> b </i>и углом<i> β </i>боковой грани с плоскостью основания.

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>и углом<i> β </i>боковой грани с плоскостью основания.

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>и углом<i> α </i>бокового ребра с плоскостью основания.

Вписанная в тетраэдр<i> ABCD </i>сфера касается его граней<i> ABC </i>,<i> ABD </i>,<i> ACD </i>и<i> BCD </i>в точках<i> D₁ </i>,<i> C₁ </i>,<i> B₁ </i>и<i> A₁ </i>соответственно. Рассмотрим плоскость, равноудаленную от точки<i> A </i>и плоскости<i> B₁C₁D₁ </i>и три другие аналогично построенные плоскости. Докажите, что тетраэдр, образованный этими четырьмя плоскостями, имеет тот же центр описанной сферы, что и тетраэдр<i> ABCD </i>.

Найдите объём правильной треугольной пирамиды с высотой<i> h </i>и углом<i> α </i>бокового ребра с плоскостью основания.

Найдите объём правильной треугольной пирамиды с боковым ребром<i> b </i>и углом<i> α </i>бокового ребра с плоскостью основания.

Найдите объём правильной треугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>и углом<i> β </i>боковой грани с плоскостью основания.

Найдите объём правильной треугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>и углом<i> α </i>бокового ребра с плоскостью основания,

Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>и боковым ребром<i> b </i>.

Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>и высотой<i> h </i>.

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>боковым ребром<i> b </i>.

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>и высотой<i> h </i>.

Найдите объём правильной треугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>и боковым ребром<i> b </i>.

Найдите объём правильной треугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>и высотой<i> h </i>.

Найдите объём правильной треугольной призмы, все рёбра которой равны 1.