Олимпиадные задачи по теме «Геометрия (прочее)» - сложность 1 с решениями

Найдите объем наклонной треугольной призмы, основанием которой служит равносторонний треугольник со стороной, равной <i>a</i>, если боковое ребро призмы равно стороне основания и наклонено к плоскости основания под углом <!-- MATH $60^{\circ }$ --> 60^<tt>o</tt>.

Даны три некомпланарных вектора. Существует ли четвертый вектор, перпендикулярный трем данным?

Пусть <i>M</i> - точка пересечения медиан треугольника <i>ABC</i>, <i>O</i> - произвольная точка пространства. Докажите, что

<!-- MATH \begin{displaymath} OM^{2} = \frac{1}{3} (OA^{2} + OB^{2} + OC^{2}) - \frac{1}{9} (AB^{2} + BC^{2} + AC^{2}). \end{displaymath} --> <div align="CENTER"> <i>OM</i>² = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$(<i>OA</i>² + <i>OB</i>² + <i>OC</i>²) - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$(<i>AB</i>² + <i>BC</i>² + <i>AC</i>²). </div>