Олимпиадные задачи по теме «Алгебра и арифметика» для 1-9 класса - сложность 5 с решениями

Используя в качестве чисел любое количество монет достоинством 1, 2, 5 и 10 рублей, а также (бесплатные) скобки и знаки четырех арифметических действий, составьте выражение со значением 2009, потратив как можно меньше денег.

В 100 ящиках лежат яблоки, апельсины и бананы. Докажите, что можно так выбрать 51 ящик, что в них окажется не менее половины всех яблок, не менее половины всех апельсинов и не менее половины всех бананов.

Загадано число от 1 до 144. Разрешается выделить одно подмножество множества чисел от 1 до 144 и спросить, принадлежит ли ему загаданное число. За ответ да надо заплатить 2 рубля, за ответ нет – 1 рубль. Какая наименьшая сумма денег необходима для того, чтобы наверняка угадать число?

На бесконечной в обе стороны полосе из клеток, пронумерованных целыми числами, лежит несколько камней (возможно, по нескольку в одной клетке). Разрешается выполнять следующие действия:<ol> <li> Снять по одному камню с клеток <i> n-</i>1 и <i> n </i> и положить один камень в клетку <i> n+</i>1; </li> <li> Снять два камня с клетки <i> n </i> и положить по одному камню в клетки <i> n+</i>1, <i> n-</i>2.</li></ol>Докажите, что при любой последовательности действий мы достигнем ситуации, когда указанные действия больше выполнять нельзя, и эта конечная ситуация не зависит от последовательности действий (а зависит только от начальной раскладки камней по клеткам).

Докажите, что существует такое натуральное число<i> n </i>, что если правильный треугольник со стороной<i> n </i>разбить прямыми, параллельными его сторонам, на<i> n² </i>правильных треугольников со стороной 1, то среди вершин этих треугольников можно выбрать1993<i>n </i>точек, никакие три из которых не являются вершинами правильного треугольника (не обязательно со сторонами, параллельными сторонам исходного треугольника).

<i>k</i> вершин правильного <i>n</i>-угольника закрашены. Закраска называется <i>почти равномерной</i>, если для любого натурального <i>m</i> верно следующее условие: если <i>M</i>₁ – множество <i>m</i> расположенных подряд вершин и <i>M</i>₂ – другое такое множество, то количество закрашенных вершин в <i>M</i>₁ отличается от количества закрашенных вершин в <i>M</i>₂ не больше чем на 1. Доказать, что для любых натуральных <i>n</i> и  <i>k</i> ≤ <i>n</i>  почти равномерная закраска существует и что она единственна с точностью до поворотов закрашенного множест...

Окружность разбита точками<i>A</i>₁,<i>A</i>₂,...,<i>A</i>_<i>n</i>на<nobr><i>n</i> равных</nobr>дуг, каждая из которых окрашена в какой-то цвет. Две дуги окружности (с концами в точках разбиения) называем одинаково окрашенными, если при некотором повороте окружности одна из них полностью, включая цвета всех дуг, совпадает с другой. (Например, на рисунке дуги<i>A</i>₂<i>A</i>₆и<i>A</i>₆<i>A</i>₁₀одинаково окрашены.)Докажите, что если для каждой точки разбиения <i>A</i><sub><i>k</i><...

а) На плоскости лежит правильный восьмиугольник. Его разрешено "перекатывать" по плоскости, переворачивая (симметрично отражая) относительно любой стороны. Докажите, что для любого круга можно перекатить восьмиугольник в такое положение, что его центр окажется внутри круга.

б) Решите аналогичную задачу для правильного пятиугольника.

в) Для каких правильных <i>n</i>-угольников верно аналогичное утверждение?

По заданному ненулевому<i>x</i>значение<i>x</i>⁸можно найти за три арифметических действия:<nobr><i>x</i>² = <i>x</i> · <i>x</i>,</nobr><nobr><i>x</i>⁴ = <i>x</i>² · <i>x</i>²,</nobr><nobr><i>x</i>⁸ = <i>x</i>⁴ · <i>x</i>⁴,</nobr>а<nobr><i>x</i>¹⁵ —</nobr>за пять действий: первые<nobr>три —</nobr>те же самые, затем<nobr><i>x</i>⁸ · <i>x<...

Найдите необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять числа <i>a, b</i>, α и β, чтобы прямоугольник размером <i>a</i>×<i>b</i> можно было разрезать на прямоугольники размером α×β. Например, можно ли прямоугольник размером 50×60 разрезать на прямоугольники размером

а) 20×15;   б) 5×8;   в) 6,25×15;   г)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73679/problem_73679_img_2.gif">

Все натуральные числа, в десятичной записи которых не больше<nobr><i>n</i> цифр,</nobr>разбили на два множества следующим образом. В первое множество входят числа с нечётной суммой цифр, а во<nobr>второе —</nobr>c чётной суммой цифр. Докажите, что для любого натурального числа<nobr><i>k</i> <font face="Symbol">£</font> <i>n</i></nobr>сумма<nobr><i>k</i>-х степеней</nobr>всех чисел первого множества равна сумме<nobr><i>k</i>-х степеней</nobr>всех чисел второго множества.

На стол положили (с перекрытиями) несколько одинаковых салфеток, имеющих форму единичного круга. Всегда ли можно вбить в стол несколько точечных гвоздей так, что все салфетки будут прибиты, причём одинаковым количеством гвоздей? (Вбивать гвозди на границы кругов запрещено.)

Глеб задумал натуральные числа $N$ и $a$, $a < N$. Число $a$ он написал на доске. Затем он начал выполнять следующую операцию: делить $N$ с остатком на последнее выписанное на доску число, а полученный остаток от деления также записывать на доску. Когда на доске появилось число $0$, он остановился. Мог ли Глеб изначально выбрать такие $N$ и $a$, чтобы сумма выписанных чисел была больше $100 N$?

У Полины есть колода из 36 карт (4 масти по 9 карт в каждой). Она выбирает из неё половину карт, какие хочет, и отдает Василисе, а вторую половину оставляет себе. Далее каждым ходом игроки по очереди открывают по одной карте по своему выбору (соперник видит масть и достоинство открытой карты), начиная с Полины. Если в ответ на ход Полины Василиса смогла положить карту той же масти или того же достоинства, то Василиса зарабатывает одно очко. Какое наибольшее количество очков Василиса может гарантированно заработать?

Имеется несколько кучек камней. Двое по очереди берут из них камни. За один ход разрешается взять из одной кучки от 1 до 5 камней. Определите выигрышную стратегию в этой игре, если тот, кто взял последний камень а) выигрывает; б) проыигрывает.