Олимпиадные задачи по теме «Тригонометрия» для 10 класса - сложность 1 с решениями

Известно, что  tg <i>A</i> + tg <i>B</i> = 2  и  ctg <i>A</i> + ctg <i>B</i> = 3.  Найдите  tg (<i>A + B</i>).

Существует ли такое вещественное α, что число cos α иррационально, а все числа cos 2α, cos 3α, cos 4α, cos 5α рациональны?

Про углы треугольника <i>ABC</i> известно, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116493/problem_116493_img_2.gif">   и   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116493/problem_116493_img_3.gif"> .   Найдите величину угла <i>C</i>.

Существует ли плоский четырехугольник, у которого тангенсы всех внутренних углов равны?

Найти геометрическое место точек, координаты которых (<i>x</i>,<i>y</i>) удовлетворяют соотношениюsin(<i>x</i>+<i>y</i>) = 0.

В выпуклом четырёхугольнике тангенс одного из углов равен числу <i>m</i>. Могут ли тангенсы каждого из трёх остальных углов также равняться <i>m</i>?

Докажите формулу:<div align="CENTER"> arccos <i>x</i> = $\displaystyle \left{\vphantom{\begin{array}{ll}\arcsin \sqrt{1-x^2},&\mbox{есл... ...arcsin \sqrt{1-x^2},&\mbox{если }-1\leqslant x\leqslant 0. \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{ll}\arcsin \sqrt{1-x^2},&\mbox{если }0\leqslant x... ...\ \pi-\arcsin \sqrt{1-x^2},&\mbox{если }-1\leqslant x\leqslant 0. \end{array}$ </div>

Докажите равенство:<div align="CENTER"> <i>arctg</i> <i>x</i> + <i>arctg</i> <i>y</i> = <i>arctg</i> $\displaystyle {\frac{x+y}{1-xy}}$ + $\displaystyle \varepsilon$$\displaystyle \pi$, </div>где$\varepsilon$= 0, если<i>xy</i>< 1,$\varepsilon$= - 1 , если<i>xy</i>> 1 и<i>x</i>< 0,$\varepsilon$= + 1, если<i>xy</i>> 1 и<i>x</i>> 0.

Чему равна сумма<i>arctg</i> <i>x</i>+<i>arcctg</i> <i>x</i>

Докажите формулы:<div align="CENTER"> arcsin(- <i>x</i>) = - arcsin <i>x</i>,    arccos(- <i>x</i>) = $\displaystyle \pi$ - arccos <i>x</i>. </div>

Докажите равенства:<div align="CENTER"> <i>arctg</i> <i>x</i> + <i>arcctg</i> <i>x</i> = $\displaystyle {\dfrac{\pi}{2}}$;    arcsin <i>x</i> + arccos <i>x</i> = $\displaystyle {\dfrac{\pi}{2}}$. </div>

Вычислите: а)arccos$\left[\vphantom{\sin\left(-\frac{\pi}{7}\right)}\right.$sin$\left(\vphantom{-\frac{\pi}{7}}\right.$-${\frac{\pi}{7}}$$\left.\vphantom{-\frac{\pi}{7}}\right)$$\left.\vphantom{\sin\left(-\frac{\pi}{7}\right)}\right]$; б)arcsin$\left(\vphantom{\cos\frac{33\pi}{5}}\right.$cos${\frac{33\pi}{5}}$$\left.\vphantom{\cos\frac{33\pi}{5}}\right)$.

Докажите, что функцияcos$\sqrt{x}$не является периодической.

Решите уравнение:<div align="CENTER"> cos$\displaystyle \pi$$\displaystyle {\frac{x}{31}}$cos 2$\displaystyle \pi$$\displaystyle {\frac{x}{31}}$cos 4$\displaystyle \pi$$\displaystyle {\frac{x}{31}}$cos 8$\displaystyle \pi$$\displaystyle {\frac{x}{31}}$cos 16$\displaystyle \pi$$\displaystyle {\frac{x}{31}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{32}}$. </div>

Вычислите следующие произведения: а)sin 20^<tt>o</tt>sin 40^<tt>o</tt>sin 60^<tt>o</tt>sin 80^<tt>o</tt>; б)cos 20^<tt>o</tt>cos 40^<tt>o</tt>cos 60^<tt>o</tt>cos 80^<tt>o</tt>.