Олимпиадные задачи по теме «Комплексные числа» для 4-8 класса

Докажите, что если каждое из двух чисел является суммой квадратов двух целых чисел, то и их произведение является суммой квадратов двух целых чисел.

Докажите равенство   (<i>a</i>² + <i>b</i>²)(<i>u</i>² + <i>v</i>²) = (<i>au + bv</i>)² + (<i>av – bu</i>)².

При каких <i>p</i> и <i>q</i> двучлен  <i>x</i>⁴ + 1  делится на  <i>x</i>² + <i>px + q</i>?