Олимпиадные задачи по математике для 2-11 класса
Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Общие внешние касательные к окружностям $ABC$ и $ACD$ пересекаются в точке $E$, к окружностям $ABD$ и $BCD$ – в точке $F$. Докажите, что если точка $F$ лежит на прямой $AC$, то точка $E$ лежит на прямой $BD$.
Внутри треугольника $ABC$ на биссектрисе угла $A$ выбрана произвольная точка $J$. Лучи $BJ$ и $CJ$ пересекают стороны $AC$ и $AB$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Касательная к описанной окружности треугольника $AKL$ в точке $A$ пересекает прямую $BC$ в точке $P$. Докажите, что $PA=PJ$.
Дан выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i>. Обозначим через <i>I<sub>A</sub>, I<sub>B</sub>, I<sub>C</sub></i> и <i>I<sub>D</sub></i> центры вписанных окружностей ω<sub><i>A</i></sub>, ω<sub><i>B</i></sub>, ω<sub><i>C</i></sub> и ω<sub><i>D</i></sub> треугольников <i>DAB, ABC, BCD</i> и <i>CDA</i> соответственно. Оказалось, что ∠<i>BI<sub>A</sub>A</i> + ∠<i>I<sub>C</sub>I<sub>A</sub>I<sub>D</sub></i> = 180°. Докажите, что ∠<i>BI<sub>B</sub>A</i> + ∠<i>I<sub>C</sub>I<sub>...
Остроугольный равнобедренный треугольник <i>ABC</i> (<i>AB = AC</i>) вписан в окружность с центром <i>O</i>. Лучи <i>BO</i> и <i>CO</i> пересекают стороны <i>AC</i> и <i>AB</i> в точках <i>B'</i> и <i>C'</i> соответственно. Через точку <i>C'</i> проведена прямая <i>l</i>, параллельная прямой <i>AC</i>. Докажите, что прямая <i>l</i> касается описанной окружности ω треугольника <i>B'OC</i>.
Неравнобедренный треугольник <i>ABC</i>, в котором ∠<i>C</i> = 60°, вписан в окружность Ω. На биссектрисе угла <i>A</i> выбрана точка <i>A'</i>, а на биссектрисе угла <i>B</i> – точка <i>B'</i> так, что <i>AB' || BC</i> и <i>B'A || AC</i>. Прямая <i>A'B'</i> пересекает Ω в точках <i>D</i> и <i>E</i>. Докажите, что треугольник <i>CDE</i> равнобедренный.
Дана равнобокая трапеция <i>ABCD</i> с основаниями <i>BC</i> и <i>AD</i>. Окружность ω проходит через вершины <i>B</i> и <i>C</i> и вторично пересекает сторону AB и диагональ <i>BD</i> в точках <i>X</i> и <i>Y</i> соответственно. Касательная, проведённая к окружности ω в точке <i>C</i>, пересекает луч <i>AD</i> в точке <i>Z</i>. Докажите, что точки <i>X, Y</i> и <i>Z</i> лежат на одной прямой.
При каких натуральных <i>n</i> для каждого целого <i>k ≥ n</i> найдётся кратное <i>n</i> число с суммой цифр <i>k</i>?
Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность Г c центром в точке <i>O</i>. Его диагонали <i>AC</i> и <i>BD</i> перпендикулярны и пересекаются в точке P, причём точка <i>O</i> лежит внутри треугольника <i>BPC</i>. На отрезке <i>BO</i> выбрана точка <i>H</i> так, что ∠<i>BHP</i> = 90°. Описанная окружность ω треугольника <i>PHD</i> вторично пересекает отрезок <i>PC</i> в точке <i>Q</i>. Докажите, что <i>AP = CQ</i>.
Окружность ω описана около остроугольного треугольника <i>ABC</i>. На стороне <i>AB</i> выбрана точка <i>D</i>, а на стороне <i>BC</i> – точка <i>E</i> так, что <i>DE || AC</i>. Точки <i>P</i> и <i>Q</i> на меньшей дуге <i>AC</i> окружности ω таковы, что <i>DP || EQ</i>. Лучи <i>QA</i> и <i>PC</i> пересекают прямую <i>DE</i> в точках <i>X</i> и <i>Y</i> соответственно. Докажите, что ∠<i>XBY</i> + ∠<i>PBQ</i> = 180°.
Окружность с центром <i>I</i> вписана в четырёхугольник <i>ABCD</i>. Лучи <i>BA</i> и <i>CD</i> пересекаются в точке <i>P</i>, а лучи <i>AD</i> и <i>BC</i> пересекаются в точке <i>Q</i>. Известно, что точка <i>P</i> лежит на описанной окружности ω треугольника <i>AIC</i>. Докажите, что точка <i>Q</i> тоже лежит на окружности ω.
Квадратная коробка конфет разбита на 49 равных квадратных ячеек. В каждой ячейке лежит шоколадная конфета – либо чёрная, либо белая. За один присест Саша может съесть две конфеты, если они одного цвета и лежат в соседних по стороне или по углу ячейках. Какое наибольшее количество конфет гарантированно может съесть Саша, как бы ни лежали конфеты в коробке?
Диагонали <i>AC</i> и <i>BD</i> вписанного четырёхугольника <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>P</i>. Точка <i>Q</i> выбрана на отрезке <i>BC</i> так, что <i>PQ</i> ⊥ <i>AC</i>.
Докажите, что прямая, проходящая через центры описанных окружностей ω<sub>1</sub> и ω<sub>2</sub> треугольников <i>APD</i> и <i>BQD</i>, параллельна прямой <i>AD</i>.
Саша выбрал натуральное число <i>N</i> > 1 и выписал в строчку в порядке возрастания все его натуральные делители: <i>d</i><sub>1</sub> < ... < <i>d<sub>s</sub></i> (так что <i>d</i><sub>1</sub> = 1 и
<i>d<sub>s</sub></i> = <i>N</i>). Затем для каждой пары стоящих рядом чисел он вычислил их наибольший общий делитель; сумма полученных <i>s</i> – 1 чисел оказалась равной
<i>N</i> – 2. Какие значения могло принимать <i>N</i>?
На доске написано несколько приведённых многочленов 37-й степени, все коэффициенты которых неотрицательны. Разрешается выбрать любые два выписанных многочлена <i>f</i> и <i>g</i> и заменить их на такие два приведённых многочлена 37-й степени <i>f</i><sub>1</sub> и <i>g</i><sub>1</sub>, что <i>f + g = f</i><sub>1</sub> + <i>g</i><sub>1</sub> или <i>fg = f</i><sub>1</sub><i>g</i><sub>1</sub>. Докажите, что после применения любого конечного числа таких операций не может оказаться, что каждый многочлен на доске имеет 37 различных положительных корней.
В пространстве расположены 2016 сфер, никакие две из них не совпадают. Некоторые из сфер – красного цвета, а остальные – зелёного. Каждую точку касания красной и зелёной сферы покрасили в синий цвет. Найдите наибольшее возможное количество синих точек.
В треугольнике <i>ABC</i> проведена биссектриса <i>BL</i>. На отрезке <i>CL</i> выбрана точка <i>M</i>. Касательная в точке <i>B</i> к описанной окружности Ω треугольника <i>ABC</i> пересекает луч <i>CA</i> в точке <i>P</i>. Касательные в точках <i>B</i> и <i>M</i> к описанной окружности Γ треугольника <i>BLM</i>, пересекаются в точке <i>Q</i>. Докажите, что прямые <i>PQ</i> и <i>BL</i> параллельны.