Олимпиадные задачи по математике для 2-8 класса

Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность ω с центром <i>O, M</i>₁ и <i>M</i>₂ – середины сторон <i>AB</i> и <i>CD</i> соответственно; Ω – описанная окружность треугольника <i>OM</i>₁<i>M</i>₂,  <i>X</i>₁ и <i>X</i>₂ – точки пересечения ω с Ω, а <i>Y</i>₁ и <i>Y</i>₂ – вторые точки пересечения описанных окружностей ω₁ и ω₂ треугольников <i>CDM</i>₁ и <i>ABM</i><sub>2</sub&g...

На сторонах <i>AB</i>, <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> взяли такие точки <i>C</i>₁, <i>B</i>₁ соответственно, что  <i>BB</i>₁ ⊥ <i>CC</i>₁.  Точка <i>X</i> внутри треугольника такова, что

∠<i>XBC</i> = ∠<i>B</i>₁<i>BA</i>,  ∠<i>XCB</i> = ∠<i>C</i>₁<i>CA</i>.  Докажите, что  ∠<i>B</i>₁<i>XC</i>₁ = 90° – ∠<i>A</i>.

В остроугольном неравнобедренном треугольнике <i>ABC</i> проведена высота <i>AH</i>. На сторонах <i>AC</i> и <i>AB</i> отмечены точки <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ соответственно, так, что <i>HA</i> – биссектриса угла <i>B</i>₁<i>HC</i>₁ и четырёхугольник <i>BC</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i> – вписанный. Докажите, что <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ – основания высот треугольника <i>ABC</i>.

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i>, в котором  ∠<i>A</i> = 45°,  проведены высоты <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁, <i>CC</i>₁. Биссектриса угла <i>BAA</i>₁ пересекает прямую <i>B</i>₁<i>A</i>₁ в точке <i>D</i>, а биссектриса угла <i>CAA</i>₁ пересекает прямую <i>C</i>₁<i>A</i>₁ в точке <i>E</i>. Найдите угол между прямыми <i>BD</i> и <i>CE</i>.