Олимпиадные задачи по математике для 11 класса

На микросхеме $2025$ различных элементов, некоторые пары из которых соединены проводами. Жора хочет раскидать элементы по $n$ платам так, чтобы никакие два элемента одной платы не были соединены проводами. Жора посчитал, что если плат будет всего две, то у него будет $2$ способа, а если плат $2025$ – то $2025~\cdot~2024^{2024}$ способов. Сколько проводов на микросхеме? <i>Все элементы и все платы разные, какие-то из плат могут не содержать элементов. Способы считаются разными, если хотя бы один элемент в способах находится на разных платах.</i>

Внутри куба отмечены $10$ точек. Жора хочет выбрать натуральное число $n$ и разбить куб на $n^3$ одинаковых кубиков так, чтобы каждая отмеченная точка оказалась внутри (но не на границе) какого-то кубика. При каком наименьшем $M$ Жора гарантированно сможет выбрать число, не большее $M$?

а) У Полины есть волшебная шоколадка в форме клетчатой лесенки со стороной 10 (см. рисунок), в каждой дольке своя начинка. Каждую минуту Полина отламывает верхний ряд долек шоколадки, поворачивает его на 90 градусов <i>против часовой стрелки</i> и приставляет её к оставшейся части в виде столбца слева, как показано на рисунке (после этого столбец слипается с другой частью, и снова получается цельная лесенка). Как только каждая долька вернётся на то же место, в котором она была изначально, Полина съест всю шоколадку. Через сколько минут это произойдёт?

Как только каждая долька вернётся на то же место, в котором она была изначально, Саша съест шоколадку. Через сколько минут это произойдёт?

<img src="/storage/problem-media/67331/problem_67331_img_2.png">

б) У...

В игре Тантрикс-солитер возможны фишки 14 типов:<img src="/storage/problem-media/66767/problem_66767_img_2.png"> Каждую из них можно поворачивать, но нельзя переворачивать: именно поэтому первые 2 фишки разные – их нельзя получить друг из друга поворотом. Их разрешается прикладывать друг к другу так, чтобы линии одного цвета были продолжениями друг друга. У Саши было по одной фишке каждого типа, и он мог выложить их так, чтобы все синие линии образовывали «петлю», и при этом чтобы в картинке не было «дырок»: <img src="/storage/problem-media/66767/problem_66767_img_3.png"> Саша потерял фишку <img src="/storage/problem-media/66767/problem_66767_img_4.png">. Докажите, что теперь он не сможет выложить оставшиеся 13 фишек так, чтобы в картинке не...

Марина купила тур в Банановую страну с 5 по 22 октября. Ввозить и вывозить бананы через границу запрещено. Банановый король в начале каждого месяца издаёт указ о ценах. Цена одного банана в местной валюте на нужные числа октября приведена в таблице:<table align="center" border="1" text-align="center"> <tr> <td> $,$5 </td><td> $,$6 </td><td> $,$7 </td><td> $,$8 </td><td> $,$9 </td><td> 10 </td><td> 11 </td><td> 12 </td><td> 13 </td><td> 14 </td><td> 15 </td><td> 16 </td><td> 17 </td><td> 18 </td><td> 19 </td><td> 20 </td><td> 21 </td><td>...

Высота каждой из 2019 ступенек «лестницы» (см. рисунок) равна 1, а ширина увеличивается от 1 до 2019. Правда ли, что отрезок, соединяющий левую нижнюю и правую верхнюю точки этой лестницы, не пересекает лестницу? <img src="/storage/problem-media/66631/problem_66631_img_2.png">

На доске в ряд в некотором порядке выписаны несколько степеней двойки. Для каждой пары соседних чисел Петя записал в тетрадку степень, в которую нужно возвести левое число, чтобы получилось правое. Первым в ряду на доске шло число 2, а последним – число 1024. Вася утверждает, что этого достаточно, чтобы найти произведение всех чисел в тетрадке. Прав ли Вася?

На сторонах <i>AB</i>, <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> взяли такие точки <i>C</i>₁, <i>B</i>₁ соответственно, что  <i>BB</i>₁ ⊥ <i>CC</i>₁.  Точка <i>X</i> внутри треугольника такова, что

∠<i>XBC</i> = ∠<i>B</i>₁<i>BA</i>,  ∠<i>XCB</i> = ∠<i>C</i>₁<i>CA</i>.  Докажите, что  ∠<i>B</i>₁<i>XC</i>₁ = 90° – ∠<i>A</i>.

  Обозначим через <i>S</i>(<i>k</i>) сумму цифр натурального числа <i>k</i>. Натуральное число <i>a</i> назовём <i>n-хорошим</i>, если существует такая последовательность натуральных чисел <i>a</i>₀, <i>a</i>₁, ..., <i>a_n</i>, что  <i>a_n = a</i>  и  <i>a</i>_<i>i</i>+1 = <i>a_i – S</i>(<i>a_i</i>)  при всех  <i>i</i> = 0, 1, ..., <i>n</i> – 1.  Верно ли, что для любого натурального <i>n</i> существует натуральное число, являющееся <i>n<...