Пусть Жора назвал число $n$. Будем считать, что сторона большого куба равна 1, одна из его вершин расположена в начале координат, а рёбра идут параллельно осям. Тогда отмеченная точка окажется на границе какого-то маленького кубика, если и только если хотя бы одна из трёх координат этой точки – обыкновенная дробь $\frac{p}{q}$, где $q$ является делителем $n$. Всего у десяти точек 30 координат. Если это $\frac12$, $\frac13$, $\frac15$, $\frac17$, ... $\frac1{113}$ (то есть, обратные к первым 30 простым числам), то Жора не может назвать число $n$, кратное 2, или 3, или 5, ...., или 113. Значит, число $M$ не меньше 127 (следуюшего, 31-го, простого числа).

Если же $M=127$, то Жора может назвать одно из простых чисел, не больших 127. Действительно, «запретить» простое число $n$ может только рациональная координата со знаменателем $n$, и 30 координат точек могут в сумме «запретить» не более 30 различных простых чисел. Значит, среди 31 простого числа от 2 до 127 Жора точно сможет выбрать подходящее $n$.

127 (31-е простое число).