Олимпиадные задачи по математике

Можно ли так раскрасить все клетки бесконечной клетчатой плоскости в белый и чёрный цвета, чтобы каждая вертикальная прямая и каждая горизонтальная прямая пересекали конечное число белых клеток, а каждая наклонная прямая конечное число чёрных?

Дан такой выпуклый четырехугольник <i>ABCD</i>, что  <i>AB = BC</i>  и  <i>AD = DC</i>.  Точки <i>K, L</i> и <i>M</i> – середины отрезков <i>AB, CD</i> и <i>AC</i> соответственно. Перпендикуляр, проведенный из точки <i>A</i> к прямой <i>BC</i>, пересекается с перпендикуляром, проведенным из точки <i>C</i> к прямой <i>AD</i>, в точке <i>H</i>. Докажите, что прямые <i>KL</i> и <i>HM</i> перпендикулярны.

Можно ли замостить плоскость параболами, среди которых нет равных? (Требуется, чтобы каждая точка плоскости принадлежала ровно одной параболе и чтобы ни одна парабола не переводилась ни в какую другую параболу движением.)

В треугольнике <i>ABC</i>, где угол <i>B</i> прямой, а угол <i>A</i> меньше угла <i>C</i>, проведена медиана <i>BM</i>. На стороне <i>AC</i> взята точка <i>L</i> так, что  ∠<i>ABM</i> = ∠<i>MBL</i>.  Описанная окружность треугольника <i>BML</i> пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>N</i>. Докажите, что  <i>AN = BL</i>.