Олимпиадные задачи по математике - сложность 3 с решениями
В треугольнике <i>ABC O</i> – центр описанной окружности, <i>H</i> – ортоцентр. Через середину <i>OH</i> параллельно <i>BC</i> проведена прямая, пересекающая стороны <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>D</i> и <i>E</i>. Оказалось, что <i>O</i> – центр вписанной окружности треугольника <i>ADE</i>. Найдите углы треугольника <i>ABC</i>.
Докажите, что для любого неравнобедренного треугольника <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64987/problem_64987_img_2.gif"> , где <i>l</i><sub>1</sub>, <i>l</i><sub>2</sub> – наибольшая и наименьшая биссектрисы треугольника, <i>S</i> – его площадь.
В треугольнике <i>ABC</i> середины сторон <i>AC, BC</i>, вершина <i>C</i> и точка пересечения медиан лежат на одной окружности.
Докажите, что она касается окружности, проходящей через вершины <i>A, B</i> и ортоцентр треугольника <i>ABC</i>.