Олимпиадные задачи по математике для 4-6 класса
Можно ли расставить в клетках таблицы $6\times 6$ числа, среди которых нет одинаковых, так, чтобы в каждом прямоугольнике $1\times 5$ (как вертикальном, так и горизонтальном) сумма чисел была равна 2022 или 2023?
Дан правильный треугольник ABC. На стороне AB отмечена точка K, на стороне BC — точки L и M (L лежит на отрезке BM) так, что KL = KM, BL = 2, AK = 3. Найдите CM.<img src="/storage/problem-media/66548/problem_66548_img_2.png">
Царь пообещал награду тому, кто сможет на каменистом пустыре посадить красивый фруктовый сад. Об этом узнали два брата. Старший смог выкопать 18 ям (см. рис. слева). Больше нигде не удалось, только все лопаты сломал. Царь рассердился и посадил его в темницу. Тогда младший брат Иван предложил разместить яблони, груши и сливы в вершинах равных треугольников (см. рис. справа), а остальные ямы засыпать.
<img src="/storage/problem-media/66544/problem_66544_img_2.png">
Царь ответил так:
— Хорошо, если деревьев каждого вида будет ровно по три и они будут расти в вершинах равных треугольников, выйдет красиво. Но три вида — слишком мало. Если кроме яблонь, груш и слив будут ещё и абрикосы — отпущу брата. Если добавишь пятый вид — черешню — заплачу за работу. Мне ещё миндаль нр...
Вокруг круглого озера через равные промежутки растут 2019 деревьев: 1009 сосен и 1010 ёлок. Докажите, что обязательно найдется дерево, рядом с которым растёт сосна и с другой стороны от которого через одно дерево тоже растёт сосна.
Сеня не умеет писать некоторые буквы и всегда в них ошибается. В слове ТЕТРАЭДР он сделал бы пять ошибок, в слове ДОДЕКАЭДР – шесть, а в слове ИКОСАЭДР – семь. А сколько ошибок он сделает в слове ОКТАЭДР?
Незнайка выписал семь двузначных чисел в порядке возрастания. Затем одинаковые цифры заменил одинаковыми буквами, а разные – разными. Получилось вот что: ХА, АЙ, АХ, ОЙ, ЭМ, ЭЙ, МУ. Докажите, что Незнайка что-то перепутал.
У Вики есть четыре фигурки, у Алины есть квадрат, а у Полины есть квадрат другого размера. Объединившись, Алина и Вика могут сложить квадрат, используя все свои пять фигурок. Может ли оказаться так, что Полина и Вика также смогут сложить квадрат, используя все свои пять фигурок? (Квадраты складываются без просветов и наложений.)
Дан квадрат <i>ABCD</i>. На продолжении диагонали <i>AC</i> за точку <i>C</i> отмечена такая точка <i>K</i>, что <i>BK = AC</i>. Найдите угол <i>BKC</i>.
Разрежьте фигуру на двенадцать одинаковых частей. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65975/problem_65975_img_2.gif"></div>
Разрежьте фигуру, изображённую на рисунке, на две равные части. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65925/problem_65925_img_2.gif"></div>
Квадраты <i>ABCD</i> и <i>BEFG</i> расположены так, как показано на рисунке. Оказалось, что точки <i>A, G</i> и <i>E</i> лежат на одной прямой.
Докажите, что тогда точки <i>D, F</i> и <i>E</i> также лежат на одной прямой. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65639/problem_65639_img_2.png"></div>
Сорок детей водили хоровод. Из них 22 держали за руку мальчика и 30 держали за руку девочку. Сколько девочек было в хороводе?
Аня захотела вписать в каждую клетку таблицы 5×8 по одной цифре таким образом, чтобы каждая цифра встречалась ровно в четырёх рядах. (Рядами мы считаем как столбцы, так и строчки таблицы.) Докажите, что у неё ничего не получится.
У каждого из художников творческого объединения "Терпение и труд" свой рабочий график. Шестеро из них пишут по одной картине раз в два дня, ещё восемь художников – по одной картине раз в три дня, остальные не пишут картин никогда. С 22 по 26 сентября они написали в общей сложности 30 картин. Сколько картин они напишут 27 сентября?
На верхней грани кубика 3×3×3 к центральному квадрату 1×1 приклеили кубик 1×1×1. Как разделить получившуюся фигуру на 7 равных?
На сетке из равносторонних треугольников построен угол <i>ACB</i> (см. рисунок). Найдите его величину.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/65147/problem_65147_img_2.png"></div>
Во дворе, где проходят четыре пересекающиеся тропинки, растёт одна яблоня (см. план). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65106/problem_65106_img_2.gif"></div>Посадите ещё три яблони так, чтобы по обе стороны от каждой тропинки было поровну яблонь.
Разрежьте нарисованный шестиугольник на четыре одинаковые фигуры. Резать можно только по линиям сетки.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/65103/problem_65103_img_2.gif"></div>
Математик с пятью детьми зашёл в пиццерию.
<i>Маша</i>: Мне с помидорами и чтоб без колбасы.
<i>Ваня</i>: А мне с грибами.
<i>Даша</i>: Я буду без помидоров.
<i>Никита</i>: А я с помидорами. Но без грибов!
<i>Игорь</i>: И я без грибов. Зато с колбасой!
<i>Папа</i>: Да, с такими привередами одной пиццей явно не обойдёшься...
Сможет ли математик заказать две пиццы и угостить каждого рeбенка такой, какую тот просил, или все же придется три пиццы заказывать?
Через двор проходят четыре пересекающиеся тропинки (см. план). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65100/problem_65100_img_2.gif"></div>Посадите четыре яблони так, чтобы по обе стороны от каждой тропинки было поровну яблонь.
Лесник считал сосны в лесу. Он обошёл 5 кругов, изображённых на рисунке, и внутри каждого круга насчитал ровно 3 сосны.
Может ли быть, что лесник ни разу не ошибся? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/64816/problem_64816_img_2.gif"></div>
Когда в Братске полдень – в Гусеве 6 часов утра, а в Комсомольске-на-Амуре 14 часов. А когда в Златоусте полдень – в Елизово 18 часов, а в Гусеве 9 часов утра. Который час в Комсомольске-на-Амуре, когда в Елизово полдень?
Впишите в пять кружков натуральные числа так, чтобы выполнялись два условия:
- если два кружка соединены линией, то стоящие в них числа должны отличаться ровно в два или ровно в четыре раза;
- если два кружка не соединены линией, то отношение стоящих в них чисел не должно быть равно ни 2, ни 4.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/64693/problem_64693_img_2.gif"></div>
Незнайка рисует замкнутые пути внутри прямоугольника 5×8, идущие по диагоналям прямоугольников 1×2. На рисунке изображён пример пути, проходящего по 12 таким диагоналям. Помогите Незнайке нарисовать путь как можно длиннее.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/64578/problem_64578_img_2.gif"></div>