Олимпиадные задачи по математике для 10 класса - сложность 1-3 с решениями
Пусть <i>C</i>(<i>n</i>) – количество различных простых делителей числа <i>n</i>.
а) Конечно или бесконечно число таких пар натуральных чисел (<i>a, b</i>), что <i>a ≠ b</i> и <i>C</i>(<i>a + b</i>) = <i>C</i>(<i>a</i>) + <i>C</i>(<i>b</i>)?
б) А если при этом дополнительно требуется, чтобы <i>C</i>(<i>a + b</i>) > 1000?
Банк обслуживает миллион клиентов, список которых известен Остапу Бендеру. У каждого есть свой PIN-код из шести цифр, у разных клиентов коды разные. Остап Бендер за один ход может выбрать любого клиента, которого он еще не выбирал, и подсмотреть у него цифры кода на любых <i>N</i> позициях (у разных клиентов он может выбирать разные позиции). Остап хочет узнать код миллионера Корейко. При каком наименьшем <i>N</i> он гарантированно сможет это сделать?
На доске написано несколько натуральных чисел. Сумма любых двух из них – натуральная степень двойки.
Какое наибольшее число различных может быть среди чисел на доске?
Назовем приведённый квадратный трёхчлен с целыми коэффициентами <i>сносным</i>, если его корни – целые числа, а коэффициенты не превосходят по модулю 2013. Вася сложил все сносные квадратные трёхчлены. Докажите, что у него получился трёхчлен, не имеющий действительных корней.
Учитель собирается дать детям задачу следующего вида. Он сообщит им, что он задумал многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) степени 2017 с целыми коэффициентами, старший коэффициент которого равен 1. Затем он сообщит им <i>k</i> целых чисел <i>n</i><sub>1</sub>, <i>n</i><sub>2</sub>, ..., <i>n<sub>k</sub></i> и отдельно сообщит значение выражения <i>P</i>(<i>n</i><sub>1</sub>)<i>P</i>(<i>n</i><sub>2</sub>)...<i>P</i>(<i>n<sub>k</sub></i>). По этим данным дети должны найти многочлен, который мог бы задумать учитель. При каком наименьшем <i>k</i> учитель сможет составить задач...
Квадратный трёхчлен <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>, не имеющий корней, таков, что коэффициент <i>b</i> рационален, а среди чисел <i>c</i> и <i>f</i>(<i>c</i>) ровно одно иррационально.
Может ли дискриминант трёхчлена <i>f</i>(<i>x</i>) быть рациональным?
Дана бесконечно возрастающая арифметическая прогрессия. Первые её несколько членов сложили и сумму объявили первым членом новой последовательности, затем сложили следующие несколько членов исходной прогрессии и сумму объявили вторым членом новой последовательности, и так далее. Могла ли новая последовательность оказаться геометрической прогрессией?
Квадратный трёхчлен <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>ax</i><sup>2</sup> + <i>bx + c</i> принимает в точках <sup>1</sup>/<sub><i>a</i></sub> и <i>c</i> значения разных знаков.
Докажите, что корни трёхчлена <i>f</i>(<i>x</i>) имеют разные знаки.
Дан многочлен двадцатой степени с целыми коэффициентами. На плоскости отметили все точки с целыми координатами, у которых ординаты не меньше 0 и не больше 10. Какое наибольшее число отмеченных точек может лежать на графике этого многочлена?
Можно ли <i>n</i> раз рассадить 2<i>n</i> + 1 человек за круглым столом, чтобы никакие двое не сидели рядом более одного раза, если
а) <i>n</i> = 5; б) <i>n</i> = 4; в) <i>n</i> – произвольное натуральное число?
Дан вписанный четырёхугольник <i>ABCD</i>. Лучи <i>AB</i> и <i>DC</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Оказалось, что точки <i>B</i>, <i>D</i>, а также середины <i>M</i> и <i>N</i> отрезков <i>AC</i> и <i>KC</i> лежат на одной окружности. Какие значения может принимать угол <i>ADC</i>?
Есть 100 красных, 100 жёлтых и 100 зелёных палочек. Известно, что из любых трёх палочек трёх разных цветов можно составить треугольник.
Докажите, что найдётся такой цвет, что из любых трёх палочек этого цвета можно составить треугольник.
Найдите все <i>n</i>, при которых для любых двух многочленов <i>P</i>(<i>x</i>) и <i>Q</i>(<i>x</i>) степени <i>n</i> найдутся такие одночлены <i>ax<sup>k</sup></i> и <i>bx<sup>l</sup></i>
(0 ≤ <i>k ≤ n</i>, 0 ≤ <i>l ≤ n</i>), что графики многочленов <i>P</i>(<i>x</i>) + <i>ax<sup>k</sup></i> и <i>Q</i>(<i>x</i>) + <i>bx<sup>l</sup></i> не будут иметь общих точек.