Задача
Дан многочлен двадцатой степени с целыми коэффициентами. На плоскости отметили все точки с целыми координатами, у которых ординаты не меньше 0 и не больше 10. Какое наибольшее число отмеченных точек может лежать на графике этого многочлена?
Решение
Пример. x(x – 1)(x – 2)...(x – 19).
Оценка. Пусть нашлись такие многочлен P(x) и 21 точка с абсциссами x1 < ... < x21. По теореме Безу для целочисленных многочленов (см. задачу 135562) число |P(x21) – P(xi)| ≤ 10 делится на x21 – xi ≥ 11 при всех i от 0 до 10. Отсюда P(x21) – P(xi) = 0.
Аналогично рассмотрев xk и x1, где 12 ≤ k ≤ 21, получим в итоге, что P(xi) = P(x21) = P(x1) = P(xk) = C. Итак, мы знаем 20 корней многочлена P(x) – C степени 20. Значит, P(x) – C = a(x – x1)...(x – x10)(x – x12)...(x – x21), где a – старший коэффициент P(x). Тогда |P(x11) – C| ≥ 10∙9∙...∙1∙1∙...∙9∙10 > 10. Это противоречит тому, что C и P(x11) принадлежат отрезку [0, 10].
Ответ
20 точек.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь