Олимпиадные задачи по математике - сложность 2 с решениями
Дан тетраэдр <i>ABCD</i>. Точка <i>X</i> выбрана вне тетраэдра так, что отрезок <i>XD</i> пересекает грань <i>ABC</i> во внутренней точке. Обозначим через <i>A', B', C'</i> проекции точки <i>D</i> на плоскости <i>XBC, XCA, XAB</i> соответственно. Докажите, что <i>A'B' + B'C' + C'A' < DA + DB + DC</i>.
Прямая, параллельная стороне <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i>, пересекает стороны <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Внутри треугольника <i>APQ</i> взята точка <i>M</i>. Отрезки <i>MB</i> и <i>MC</i> пересекают отрезок <i>PQ</i> в точках <i>E</i> и <i>F</i> соответственно. Пусть <i>N</i> – вторая точка пересечения описанных окружностей ω<sub>1</sub> и ω<sub>2</sub> треугольников <i>PMF</i> и <i>QME</i>. Докажите, что точки <i>A, M</i> и <i>N</i> лежат на одной прямой.
Дан треугольник <i>ABC</i>. Две окружности, проходящие через вершину <i>A</i>, касаются стороны <i>BC</i> в точках <i>B</i> и <i>C</i> соответственно. Пусть <i>D</i> – вторая точка пересечения этих окружностей (<i>A</i> лежит ближе к <i>BC</i>, чем <i>D</i>). Известно, что <i>BC</i> = 2<i>BD</i>. Докажите, что ∠<i>DAB</i> = 2∠<i>ADB</i>.
Пусть <i>ABCD</i> – трапеция, в которой углы <i>A</i> и <i>B</i> прямые, <i>AB = AD, CD = BC + AD, BC < AD</i>.
Докажите, что угол <i>ADC</i> в два раза больше угла <i>ABE</i>, где <i>E</i> – середина <i>AD</i>.
Пусть <i>AP</i> и <i>BQ</i> – высоты данного остроугольного треугольника <i>ABC</i>. Постройте циркулем и линейкой на стороне <i>AB</i> точку <i>M</i> так, чтобы
∠<i>AQM</i> = ∠<i>BPM</i>.
Пусть <i>ABCD</i> – вписанный четырёхугольник. Докажите, что <i>AC > BD</i> тогда и только тогда, когда (<i>AD – BC</i>)(<i>AB – CD</i>) > 0.
Две окружности Ω<sub>1</sub> и Ω<sub>2</sub> с центрами <i>O</i><sub>1</sub> и <i>O</i><sub>2</sub> касаются внешним образом в точке <i>O</i>. Точки <i>X</i> и <i>Y</i> лежат на Ω<sub>1</sub> и Ω<sub>2</sub> соответственно так, что лучи <i>O</i><sub>1</sub><i>X</i> и <i>O</i><sub>2</sub><i>Y</i> одинаково направлены. Из точки <i>X</i> проведены касательные к Ω<sub>2</sub>, а из точки <i>Y</i> – к Ω<sub>1</sub>. Докажите, что эти четыре прямые касаются одной окружности, проходящей через точку <i>O</i>.
Окружность <i>k</i> проходит через вершины <i>B</i> и <i>C</i> треугольника <i>ABC</i> (<i>AB > AC</i>) и пересекает продолжения сторон <i>AB</i> и <i>AC</i> за точки <i>B</i> и <i>C</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Пусть <i>AA</i><sub>1</sub> – высота треугольника <i>ABC</i>. Известно, что <i>A</i><sub>1</sub><i>P = A</i><sub>1</sub><i>Q</i>. Докажите, что угол <i>PA</i><sub>1</sub><i>Q</i> в два раза больше угла <i>A</i> треугольника <i>ABC</i>.