Олимпиадные задачи по математике для 8 класса
Периметр треугольника <i>ABC</i> равен 4. На лучах <i>AB</i> и <i>AC</i> отмечены точки <i>X</i> и <i>Y</i> так, что <i>AX = AY</i> = 1. Отрезки <i>BC</i> и <i>XY</i> пересекаются в точке <i>M</i>. Докажите, что периметр одного из треугольников <i>ABM</i> и <i>ACM</i> равен 2.
Пусть <i>ABC</i> – правильный треугольник. На его стороне <i>AC</i> выбрана точка <i>T</i>, а на дугах <i>AB</i> и <i>BC</i> его описанной окружности выбраны точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно так, что <i>MT || BC</i> и <i>NT || AB</i>. Отрезки <i>AN</i> и <i>MT</i> пересекаются в точке <i>X</i>, а отрезки <i>CM</i> и <i>NT</i> – в точке <i>Y</i>. Докажите, что периметры многоугольников <i>AXYC</i> и <i>XMBNY</i> равны.
В трапеции <i>ABCD</i> боковая сторона <i>CD</i> перпендикулярна основаниям, <i>O</i> – точка пересечения диагоналей. На описанной окружности треугольника <i>OCD</i> взята точка <i>S</i>, диаметрально противоположная точке <i>O</i>. Докажите, что ∠<i>BSC</i> = ∠<i>ASD</i>.
На окружности отмечено 2<i>N</i> точек (<i>N</i> – натуральное число). Известно, что через любую точку внутри окружности проходит не более двух хорд с концами в отмеченных точках. Назовем <i>паросочетанием</i> такой набор из <i>N</i> хорд с концами в отмеченных точках, что каждая отмеченная точка является концом ровно одной из этих хорд. Назовём паросочетание <i>чётным</i>, если количество точек, в которых пересекаются его хорды, чётно, и <i>нечётным</i> иначе. Найдите разность между количеством чётных и нечётных паросочетаний.
Вначале на плоскости были отмечены три различные точки. Каждую минуту выбирались некоторые три из отмеченных точек – обозначим их <i>A, B</i> и <i>C</i>, после чего на плоскости отмечалась точка <i>D</i>, симметричная <i>A</i> относительно серединного перпендикуляра к <i>BC</i>. Через сутки оказалось, что среди отмеченных точек нашлись три различные точки, лежащие на одной прямой. Докажите, что три исходных точки также лежали на одной прямой.
Точка <i>M</i> – середина стороны <i>AC</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i>, в котором <i>AB > BC</i>. Касательные к описанной окружности Ω треугольника <i>ABC</i>, проведённые в точках <i>A</i> и <i>C</i>, пересекаются в точке <i>P</i>. Отрезки <i>BP</i> и <i>AC</i> пересекаются в точке <i>S</i>. Пусть <i>AD</i> – высота треугольника <i>BP</i>. Описанная окружность ω треугольника <i>CSD</i> второй раз пересекает окружность Ω в точке <i>K</i>. Докажите, что ∠<i>CKM</i> = 90°.