Олимпиадная задача по планиметрии для 8–9 классов от Шмарова В.: доказательство для трех точек
Задача
Вначале на плоскости были отмечены три различные точки. Каждую минуту выбирались некоторые три из отмеченных точек – обозначим их A, B и C, после чего на плоскости отмечалась точка D, симметричная A относительно серединного перпендикуляра к BC. Через сутки оказалось, что среди отмеченных точек нашлись три различные точки, лежащие на одной прямой. Докажите, что три исходных точки также лежали на одной прямой.
Решение
Предположим противное; тогда исходные три точки лежат на некоторой окружности ω. Докажем по индукции, что все отмеченные точки также лежат на ω. Действительно, изначально это верно. Пусть в некоторый момент по точкам A, B, C строится точка D. Тогда серединный перпендикуляр l к BC проходит через центр ω, значит, эта окружность симметрична относительно l. Так как точка A лежит на ω, то и D также на ней лежит.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь