Олимпиадные задачи по математике для 8 класса - сложность 2 с решениями

На доске записано 101 число: 1², 2², ..., 101². За одну операцию разрешается стереть любые два числа, а вместо них записать модуль их разности.

Какое наименьшее число может получиться в результате 100 операций?

В выражении  (<i>x</i>⁴ + <i>x</i>³ – 3<i>x</i>² + <i>x</i> + 2)²⁰⁰⁶  раскрыли скобки и привели подобные слагаемые.

Докажите, что при некоторой степени переменной <i>x</i> получился отрицательный коэффициент.

Существует ли вписанный в окружность $N$-угольник, у которого нет одинаковых по длине сторон, а все углы выражаются целым числом градусов, если

  а)  $N$ = 19;

  б)  $N$ = 20?

Можно ли все натуральные делители числа 100! (включая 1 и само число) разбить на две группы так, чтобы в обеих группах было одинаковое количество чисел и произведение чисел первой группы равнялось произведению чисел второй группы?