Олимпиадные задачи по математике - сложность 3 с решениями
На дуге <i>AC</i> описанной окружности правильного треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>M</i>, отличная от <i>C</i>, <i>P</i> – середина этой дуги. Пусть <i>N</i> – середина хорды <i>BM, K</i> – основание перпендикуляра, опущенного из точки <i>P</i> на <i>MC</i>. Докажите, что треугольник <i>ANK</i> правильный.
В шестиугольнике <i>ABCDEF</i>, вписанном в окружность, <i>AB = BC, CD = DE, EF = FA</i>.
Докажите, что площадь треугольника <i>BDF</i> равна половине площади шестиугольника.
Две окружности пересекаются в точках <i>A</i> и <i>B</i>. В точке <i>A</i> к обеим проведены касательные, пересекающие окружности в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Прямые <i>BM</i> и <i>BN</i> пересекают окружности еще раз в точках <i>P</i> и <i>Q</i> (<i>P</i> – на прямой <i>BM, Q</i> – на прямой <i>BN</i>). Докажите, что отрезки <i>MP</i> и <i>NQ</i> равны.