Олимпиадные задачи по математике для 3-11 класса

Можно ли в пространстве составить замкнутую цепочку из 61 одинаковых согласованно вращающихся шестерёнок так, чтобы углы между сцепленными шестерёнками были не меньше 150°? При этом:

  для простоты шестёренки считаются кругами;

  шестерёнки сцеплены, если соответствующие окружности в точке соприкосновения имеют общую касательную;

  угол между сцепленными шестерёнками – это угол между радиусами их окружностей, проведёнными в точку касания;

  первая шестерёнка должна быть сцеплена со второй, вторая – с третьей, и т. д., 61-я – с первой, а другие пары шестерёнок не должны иметь общих точек.

Существует ли натуральное число, делящееся на 1998, сумма цифр которого меньше 27?

Пусть <i>a, b, c</i> – такие целые неотрицательные числа, что   28<i>a</i> + 30<i>b</i> + 31<i>c</i> = 365.  Докажите, что  <i>a + b + c</i> = 12.