Олимпиадные задачи по математике для 11 класса - сложность 2-5 с решениями

Обозначим через  <i>S</i>(<i>n</i>, <i>k</i>)  количество не делящихся на <i>k</i> коэффициентов разложения многочлена  (<i>x</i> + 1)<i>ⁿ</i>  по степеням <i>x</i>.

  а) Найдите  <i>S</i>(2012, 3).

  б) Докажите, что  <i>S</i>(2012²⁰¹¹, 2011)  делится на 2012.

В треугольнике <i>ABC</i> высоты или их продолжения пересекаются в точке <i>H</i>, а <i>R</i> – радиус его описанной окружности.

Докажите, что если  ∠<i>A</i> ≤ ∠<i>B</i> ≤ ∠<i>C</i>,  то  <i>AH + BH</i> ≥ 2<i>R</i>.

Команда из <i>n</i> школьников участвует в игре: на каждого из них надевают шапку одного из <i>k</i> заранее известных цветов, а затем по свистку все школьники одновременно выбирают себе по одному шарфу. Команда получает столько очков, у скольких её участников цвет шапки совпал с цветом шарфа (шарфов и шапок любого цвета имеется достаточное количество; во время игры каждый участник не видит своей шапки, зато видит шапки всех остальных, но не имеет права выдавать до свистка никакую информацию). Какое наибольшее число очков команда, заранее наметив план действий каждого её члена, может гарантированно получить:

  а) при  <i>n = k = </i>2;

  б) при произвольных фиксированных <i>n</i> и <i>k</i>?

Найдите наименьшее натуральное<i>n</i>, для которого число<i>nⁿ</i>не является делителем числа 2008!.