Олимпиадные задачи по математике - сложность 3 с решениями
Тридцать три богатыря нанялись охранять Лукоморье за 240 монет. Хитрый дядька Черномор может разделить богатырей на отряды произвольной численности (или записать всех в один отряд), а затем распределить всё жалованье между отрядами. Каждый отряд делит свои монеты поровну, а остаток отдаёт Черномору. Какое наибольшее количество монет может достаться Черномору, если:
а) жалованье между отрядами Черномор распределяет как ему угодно;
б) жалованье между отрядами Черномор распределяет поровну?
Известно, что Шакал всегда лжёт, Лев говорит правду, Попугай просто повторяет последний услышанный ответ (а если его спросить первым, ответит как попало), а Жираф дает честный ответ, но на предыдущий заданный ему вопрос (а на первый вопрос отвечает как попало). Мудрый Ёжик в тумане наткнулся на Шакала, Льва, Попугая и Жирафа и решил выяснить, в каком порядке они стоят. Спросив всех по очереди "Ты Шакал?", он понял только лишь, где Жираф. Спросив всех в том же порядке: "Ты Жираф?", он смог ещё понять, где Шакал, но полной ясности так и не наступило. И лишь после того как на вопрос "Ты Попугай?" первый ответил "Да", Ежу, наконец, стало ясно, в каком порядке стояли животные. Так в каком же?
("Как попало" означает, что один из ответов "Д...
Сторону <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> разделили на <i>n</i> равных частей (точки деления <i>B</i><sub>0</sub> = <i>A, B</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>2</sub>, <i>B<sub>n</sub> = B</i>), а сторону <i>AC</i> этого треугольника разделили на
<i>n</i> + 1 равных частей (точки деления <i>C</i><sub>0</sub> = <i>A, C</i><sub>1</sub>, <i>C</i><sub>2</sub>, ..., <i>C</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <i>C</i>). Закрасили треугольники <i>C<sub>i</sub>B<sub>i</sub>C</i><sub><i>...
Есть шоколадка в форме равностороннего треугольника со стороной <i>n</i>, разделённая бороздками на равносторонние треугольники со стороной 1. Играют двое. За ход можно отломать от шоколадки треугольный кусок вдоль бороздки, съесть его, а остаток передать противнику. Тот, кто получит последний кусок – треугольник со стороной 1, – победитель. Для каждого <i>n</i> выясните, кто из играющих может всегда выигрывать, как бы не играл противник?
Докажите, что на графике функции <i>y = x</i>³ можно отметить такую точку <i>A</i>, а на графике функции <i>y = x</i>³ + |<i>x</i>| + 1 – такую точку <i>B</i>, что расстояние <i>AB</i> не превышает <sup>1</sup>/<sub>100</sub>.
Верно ли, что на графике функции <i>y = x</i>³ можно отметить такую точку <i>A</i>, а на графике функции <i>y = x</i>³ + |<i>x</i>| + 1 – такую точку <i>B</i>, что расстояние <i>AB</i> не превысит <sup>1</sup>/<sub>100</sub>?
На сторонах треугольника <i>ABC</i> вовне построены квадраты <i>ABB</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>, <i>BCC</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub> и <i>CAA</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>2</sub>. На отрезках <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub> и <i>B</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub> также во внешнюю сторону от треугольников <i>AA</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub> и <i>BB</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub> построены квадраты <i>A</...
На доске записано целое положительное число <i>N</i>. Два игрока ходят по очереди. За ход разрешается либо заменить число на доске на один из его делителей (отличных от единицы и самого числа), либо уменьшить число на единицу (если при этом число остается положительным). Тот, кто не может сделать ход, проигрывает. При каких <i>N</i> первый игрок может выиграть, как бы ни играл соперник?