Олимпиадные задачи по математике для 11 класса - сложность 3 с решениями

<i>AD</i> и <i>BE</i> — высоты треугольника <i>ABC</i>. Оказалось, что точка <i>C'</i>, симметричная вершине <i>C</i> относительно середины отрезка <i>DE</i>, лежит на стороне <i>AB</i>. Докажите, что <i>AB</i> – касательная к окружности, описанной около треугольника <i>DEC'</i>.

Дан четырёхугольник <i>ABCD</i>. Оказалось, что описанная окружность треугольника <i>ABC</i>, касается стороны <i>CD</i>, а описанная окружность треугольника <i>ACD</i> касается стороны <i>AB</i>. Докажите, что диагональ <i>AC</i> меньше, чем расстояние между серединами сторон <i>AB</i> и <i>CD</i>.

Казино предлагает игру по таким правилам. Игрок ставит любое целое число долларов (но не больше, чем у него в этот момент есть) либо на орла, либо на решку. Затем подбрасывается монета. Если игрок угадал, как она упадёт, он получает назад свою ставку и столько же денег впридачу. Если не угадал — его ставку забирает казино. Если игроку не повезёт четыре раза подряд, казино присуждает ему в следующей игре утешительную победу вне зависимости от того, как упадёт монета. Джо пришёл в казино со 100 долларами. Он обязался сделать ровно пять ставок и ни разу не ставить больше 17 долларов. Какую наибольшую сумму денег он сможет гарантированно унести из казино после такой игры?

Окружность, проходящая через вершины <i>A, B</i> и точку пересечения высот треугольника <i>ABC</i>, пересекает стороны <i>AC</i> и <i>BC</i> во внутренних точках.

Докажите, что  60° < ∠<i>C</i> < 90°.

Верно ли, что существуют выпуклые многогранники с любым количеством диагоналей? (<i>Диагональю</i> называется отрезок, соединяющий две вершины многогранника и не лежащий на его поверхности.)