Олимпиадные задачи по математике - сложность 4 с решениями
Oснованием пирамиды служит выпуклый четырехугольник. Oбязательно ли существует сечение этой пирамиды, не пересекающее основание и являющееся вписанным четырехугольником?
Дан треугольник<i> ABC </i>и точка<i> P </i>внутри него.<i> A' </i>,<i> B' </i>,<i> C' </i>– проекции<i> P </i>на прямые<i> BC </i>,<i> CA </i>,<i> AB </i>. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника<i> A'B'C' </i>, лежит внутри треугольника<i> ABC </i>.
В четырёхугольнике <i>ABCD</i> стороны <i>AB, BC</i> и <i>CD</i> равны, <i>M</i> – середина стороны <i>AD</i>. Известно, что ∠<i>BMC</i> = 90°.
Найдите угол между диагоналями четырёхугольника <i>ABCD</i>.
Известно, что <i>AE</i> и <i>CD</i> — биссектрисы треугольника <i>ABC</i>, <!-- MATH $\angle CDE = 30^{\circ}$ --> $\angle$<i>CDE</i> = 30<sup><tt>o</tt></sup>. Докажите, что один из углов треугольника <i>ABC</i> равен <!-- MATH $60^{\circ}$ --> 60<sup><tt>o</tt></sup> или <!-- MATH $120^{\circ}$ --> 120<sup><tt>o</tt></sup>.