Олимпиадные задачи по математике для 7-10 класса - сложность 2 с решениями
В основании четырёхугольной пирамиды<i> SABCD </i>лежит параллелограмм<i> ABCD </i>. Докажите, что для любой точки<i> O </i>внутри пирамиды сумма объёмов тетраэдров<i> OSAB </i>и<i> OSCD </i>равна сумме объёмов тетраэдров<i> OSBC </i>и<i> OSDA </i>.
<center><i> <img src="/storage/problem-media/109632/problem_109632_img_2.gif"> </i></center> Центры<i> O<sub>1</sub> </i>,<i> O<sub>2</sub> </i>и<i> O<sub>3</sub> </i>трех непересекающихся окружностей одинакового радиуса расположены в вершинах треугольника. Из точек<i> O<sub>1</sub> </i>,<i> O<sub>2</sub> </i>и<i> O<sub>3</sub> </i>проведены касательные к данным окружностям так, как показано на рисунке. Известно, что эти касательные, пересекаясь, образовали выпуклый шестиугольник, стороны которого через одну покрашены в красный и синий цвета. Докажите, что сумма длин красных отрезков равна сумме длин синих о...
Внутри окружности расположен выпуклый четырехугольник, продолжения сторон которого пересекают ее в точках<i> A<sub>1</sub> </i>,<i> A<sub>2</sub> </i>,<i> B<sub>1</sub> </i>,<i> B<sub>2</sub> </i>,<i> C<sub>1</sub> </i>,<i> C<sub>2</sub> </i>,<i> D<sub>1</sub> </i>и<i> D<sub>2</sub> </i>960. Докажите, что если<i> A<sub>1</sub>B<sub>2</sub>=B<sub>1</sub>C<sub>2</sub>=C<sub>1</sub>D<sub>2</sub>=D<sub>1</sub>A<sub>2</sub> </i>, то четырехугольник, образованный прямыми<i> A<sub>1</sub...
На сторонах <i>AB, BC, CD, DA</i> прямоугольника <i>ABCD</i> взяты соответственно точки <i>K, L, M, N</i>, отличные от вершин. Известно, что <i>KL || MN</i> и
<i>KM</i> ⊥ <i>NL</i>. Докажите, что точка пересечения отрезков <i>KM</i> и <i>LN</i> лежит на диагонали <i>BD</i> прямоугольника.