Олимпиадные задачи по математике - сложность 2 с решениями
В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i> (<i>AB = BC</i>) на стороне <i>AB</i> выбрана точка <i>D</i>, и вокруг треугольников <i>ADC</i> и <i>BDC</i> описаны окружности <i>S</i><sub>1</sub> и <i>S</i><sub>2</sub> соответственно. Касательная, проведённая к <i>S</i><sub>1</sub> в точке <i>D</i>, пересекает второй раз окружность <i>S</i><sub>2</sub> в точке <i>M</i>. Докажите, что <i>BM || AC</i>.
Окружность <i>S</i> с центром <i>O</i> и окружность <i>S'</i> пересекаются в точках <i>A</i> и <i>B</i>. На дуге окружности <i>S</i>, лежащей внутри <i>S'</i>, взята точка <i>C</i>. Точки пересечения прямых <i>AC</i> и <i>BC</i> с <i>S'</i>, отличные от <i>A</i> и <i>B</i>, обозначим через <i>E</i> и <i>D</i> соответственно. Докажите, что прямые <i>DE</i> и <i>OC</i> перпендикулярны.
Пусть <i>O</i> – центр описанной окружности остроугольного треугольника <i>ABC, S<sub>A</sub>, S<sub>B</sub>, S<sub>C</sub></i> – окружности с центром <i>O</i>, касающиеся сторон <i>BC, CA</i> и <i>AB</i> соответственно. Докажите, что сумма трёх углов: между касательными к <i>S<sub>A</sub></i>, проведёнными из точки <i>A</i>, к <i>S<sub>B</sub></i> – из точки <i>B</i>, и к <i>S<sub>C</sub></i> – из точки <i>C</i>, равна 180°.
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> через центр <i>O</i> описанной окружности и вершины <i>B</i> и <i>C</i> проведена окружность <i>S</i>. Пусть <i>OK</i> – диаметр окружности <i>S, D</i> и <i>E</i> – соответственно точки её пересечения с прямыми <i>AB</i> и <i>AC</i>. Докажите, что <i>ADKE</i> – параллелограмм.
В трапеции <i>ABCD</i> площади 1 основания <i>BC</i> и <i>AD</i> относятся как 1 : 2.  Пусть <i>K</i> – середина диагонали <i>AC</i>. Прямая <i>DK</i> пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>L</i>. Найдите площадь четырёхугольника <i>BCKL</i>.