Олимпиадные задачи по математике для 11 класса - сложность 4 с решениями
На стороне<i> AB </i>треугольника<i> ABC </i>выбрана точка<i> D </i>. Окружность, описанная около треугольника<i> BCD </i>, пересекает сторону<i> AC </i>в точке<i> M </i>, а окружность, описанная около треугольника<i> ACD </i>, пересекает сторону<i> BC </i>в точке<i> N </i>(точки<i> M </i>и<i> N </i>отличны от точки<i> C </i>). Пусть<i> O </i>– центр описанной окружности треугольника<i> CMN </i>. Докажите, что прямая<i> OD </i>перпендикулярна стороне<i> AB </i>.
Дан четырёхугольник<i> ABCD </i>, в котором<i> AB=AD </i>и<i> <img src="/storage/problem-media/108192/problem_108192_img_2.gif"> ABC=<img src="/storage/problem-media/108192/problem_108192_img_2.gif"> ADC=</i>90<i><sup>o</sup> </i>. На сторонах<i> BC </i>и<i> CD </i>выбраны соответственно точки<i> F </i>и<i> E </i>так, что<i> DF <img src="/storage/problem-media/108192/problem_108192_img_3.gif"> AE </i>. Докажите, что<i> AF <img src="/storage/problem-media/108192/problem_108192_img_3.gif"> BE </i>.