Олимпиадные задачи по математике для 3-9 класса
Внутри треугольника <i>ABC</i> взята такая точка <i>O</i>, что ∠<i>ABO</i> = ∠<i>CAO</i>, ∠<i>BAO</i> = ∠<i>BCO</i>, ∠<i>BOC</i> = 90°. Найдите отношение <i>AC</i> : <i>OC</i>.
На доске написано: <i>x</i>³ + ...<i>x</i>² + ...<i>x</i> + ... = 0. Два школьника по очереди вписывают вместо многоточий действительные числа. Цель первого – получить уравнение, имеющее ровно один действительный корень. Сможет ли второй ему помешать?
Круглая мишень разбита на 20 секторов, которые нумеруются по кругу в каком-либо порядке числами 1, 2, ..., 20. Если секторы занумерованы, например, в следующем порядке 1, 20, 5, 12, 9, 14, 11, 8, 16, 7, 19, 3, 17, 2, 15, 10, 6, 13, 4, 18, то наименьшая из разностей между номерами соседних (по кругу) секторов равна 12 – 9 = 3.
Может ли указанная величина при нумерации в другом порядке быть больше 3?
Каково наибольшее возможное значение этой величины?
Докажите, что любой квадратный трёхчлен можно представить в виде суммы двух квадратных трёхчленов с нулевыми дискриминантами.
Сумма модулей членов конечной арифметической прогрессии равна 250. Если все ее члены увеличить на 1 или все ее члены увеличить на 2, то в обоих случаях сумма модулей членов полученной прогрессии будет также равна 250. Какие значения при этих условиях может принимать величина<i>n</i><sup>2</sup><i>d</i>, где<i>d</i>- разность прогрессии, а<i>n</i>- число ее членов?
Совет из 2000 депутатов решил утвердить государственный бюджет, содержащий 200 статей расходов. Каждый депутат подготовил свой проект бюджета, в котором указал по каждой статье максимально допустимую, по его мнению, величину расходов, проследив за тем, чтобы общая сумма расходов не превысила заданную величину <i>S</i>. По каждой статье совет утверждает наибольшую величину расходов, которую согласны выделить не менее <i>k</i> депутатов. При каком наименьшем <i>k</i> можно гарантировать, что общая сумма утверждённых расходов не превысит <i>S</i>?
В классе организуется турнир по перетягиванию каната. В турнире ровно по одному разу должны участвовать всевозможные команды, которые можно составить из учащихся этого класса (кроме команды всего класса). Доказать, что каждая команда учащихся будет соревноваться с командой всех остальных учащихся класса.
Докажите, что если в выпуклом пятиугольнике <i>ABCDE</i> <i>ABC</i> = ∠<i>ADE</i> и ∠<i>AEC</i> = ∠<i>ADB</i>, то ∠<i>BAC</i> = ∠<i>DAE</i>.