Олимпиадные задачи по математике - сложность 2 с решениями

В таблице

    0 1 2 3 ... 9

    9 0 1 2 ... 8

    8 9 0 1 ... 7

        ...

    1 2 3 4 ... 0

отмечено 10 элементов так, что в каждой строке и каждом столбце отмечен один элемент.

Докажите, что среди отмеченных элементов есть хотя бы два равных.

Из центра каждой из двух данных окружностей проведены касательные к другой окружности.

Докажите, что хорды, соединяющие точки пересечения касательных с окружностями, (см. рис.) равны. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/55518/problem_55518_img_2.gif"></div>

На стороне <i>AB</i> квадрата <i>ABCD</i> взята точка <i>E</i>, а на стороне <i>CD</i> – точка <i>F</i>, причём  <i>AE</i> : <i>EB</i> = 1 : 2,  а  <i>CF = FD</i>.

Будут ли голубой и зелёный треугольники (см. рис.) подобны? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/53889/problem_53889_img_2.gif"></div>