Олимпиадные задачи по математике для 9-11 класса - сложность 2 с решениями
Два бегуна стартовали одновременно из одной точки. Сначала они бежали по улице до стадиона, а потом до финиша – три круга по стадиону. Всю дистанцию оба бежали с постоянными скоростями, и в ходе забега первый бегун дважды обогнал второго. Докажите, что первый бежал по крайней мере вдвое быстрее, чем второй.
Петя придумал 1004 приведённых квадратных трёхчлена <i>f</i><sub>1</sub>, ..., <i>f</i><sub>1004</sub>, среди корней которых встречаются все целые числа от 0 до 2007. Вася рассматривает всевозможные уравнения <i>f<sub>i</sub> = f<sub>j</sub></i> (<i>i ≠ j</i>), и за каждый найденный у них корень Петя платит Васе по рублю. Каков наименьший возможный доход Васи?
Пусть <i>P</i>(<i>x</i>) – многочлен нечётной степени. Докажите, что уравнение <i>P</i>(<i>P</i>(<i>x</i>)) = 0 имеет не меньше различных действительных корней, чем уравнение <i>P</i>(<i>x</i>) = 0.
Корни двух приведённых квадратных трёхчленов – отрицательные целые числа, причём один из этих корней – общий.
Могут ли значения этих трёхчленов в некоторой положительной целой точке равняться 19 и 98?
Один из углов треугольника на 120° больше другого.
Докажите, что биссектриса треугольника, проведённая из вершины третьего угла, вдвое длиннее, чем высота, проведённая из той же вершины.
Незнайка решал уравнение, в левой части которого стоял многочлен третьей степени с целыми коэффициентами, а в правой – 0. Он нашёл корень <sup>1</sup>/<sub>7</sub>. Знайка, заглянув к нему в тетрадь, увидел только первые два слагаемых многочлена: 19<i>x</i>³ + 98<i>x</i>² и сразу сказал, что ответ неверен. Обоснуйте ответ Знайки.
Квадрат 8×8 клеток выкрашен в белый цвет. Разрешается выбрать в нём любой прямоугольник из трёх клеток и перекрасить все их в противоположный цвет (белые в чёрный, чёрные – в белый). Удастся ли несколькими такими операциями перекрасить весь квадрат в чёрный цвет?
На плоскости отметили все вершины правильного <i>n</i>-угольника, а также его центр. Затем нарисовали контур этого <i>n</i>-угольника, и центр соединили со всеми вершинами; в итоге <i>n</i>-угольник разбился на <i>n</i> треугольников. Вася записал в каждую отмеченную точку по числу (среди чисел могут быть равные). В каждый треугольник разбиения он записал в произвольном порядке три числа, стоящих в его вершинах; после этого он стёр числа в отмеченных точках. При каких <i>n</i> по тройкам чисел, записанным в треугольниках, Петя всегда сможет восстановить число в каждой отмеченной точке?
На доске написано число 1. Если на доске написано число <i>а</i>, его можно заменить любым числом вида <i>a + d</i>, где <i>d</i> взаимно просто с <i>а</i> и 10 ≤ <i>d</i> ≤ 20.
Можно ли через несколько таких операций получить на доске число 18! ?
На доске нарисованы три четырёхугольника. Петя сказал: "На доске нарисованы по крайней мере две трапеции". Вася сказал: "На доске нарисованы по крайней мере два прямоугольника". Коля сказал: "На доске нарисованы по крайней мере два ромба". Известно, что один из мальчиков сказал неправду, а двое других – правду. Докажите, что среди нарисованных на доске четырёхугольников есть квадрат.
Однажды барон Мюнхгаузен, вернувшись с прогулки, рассказал, что половину пути он шёл со скоростью 5 км/ч, а половину времени, затраченного на прогулку, – со скоростью 6 км/ч. Не ошибся ли барон?
На столе лежат 7 карточек с цифрами от 0 до 6. Двое по очереди берут по одной карточке. Выигрывает тот, кто впервые из своих карточек сможет составить натуральное число, делящееся на 17. Кто выиграет при правильной игре – начинающий или его противник?