Олимпиадные задачи по математике для 11 класса
Можно ли отметить на числовой оси 50 отрезков (быть может, перекрывающихся) так, что их длины – 1, 2, 3, ... , 50, а их концы – все целые точки от 1 до 100 включительно?
а) Из произвольной точки <i>M</i> внутри правильного <i>n</i>-угольника проведены перпендикуляры <i>MK</i><sub>1</sub>, <i>MK</i><sub>2</sub>, ..., <i>MK<sub>n</sub></i> к его сторонам (или их продолжениям). Докажите, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/97793/problem_97793_img_2.gif"> (<i>O</i> – центр <i>n</i>-угольника). б) Докажите, что сумма векторов, проведённых из любой точки <i>M</i> внутри правильного тетраэдра перпендикулярно к его граням, равна <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/97793/problem_97793_img_3.gif"> где <i>O</i> – центр тетраэдра....
<i>M</i> – множество точек на плоскости. Точка <i>O</i> называется "почти центром симметрии" множества <i>M</i>, если из <i>M</i> можно выбросить одну точку так, что для оставшегося множества <i>O</i> является центром симметрии в обычном смысле. Сколько "почти центров симметрии" может иметь конечное множество на плоскости?