Олимпиадные задачи по математике для 11 класса - сложность 3-4 с решениями
Дан выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i>. Обозначим через <i>R<sub>a</sub>, R<sub>b</sub>, R<sub>c</sub></i> и <i>R<sub>d</sub></i> радиусы описанных окружностей треугольников <i>DAB, ABC, BCD, CDA</i>. Докажите, что неравенство <i>R<sub>a</sub> < R<sub>b</sub> < R<sub>c</sub> < R<sub>d</sub></i> выполняется тогда и только тогда, когда 180° – ∠<i>CDB</i> < ∠<i>CAB</i> < ∠<i>CDB</i>.
Числовая последовательность<i> a<sub>0</sub> </i>,<i> a<sub>1</sub> </i>,<i> a<sub>2</sub> </i>, такова, что при всех неотрицательных<i> m </i>и<i> n </i>(<i> m<img src="/storage/problem-media/109861/problem_109861_img_2.gif"> n </i>) выполняется соотношение <center><i>
a<sub>m+n</sub>+a<sub>m-n</sub>=<img src="/storage/problem-media/109861/problem_109861_img_3.gif"></i>(<i>a</i>2<i>m+a</i>2<i>n</i>)<i>.
</i></center> Найдите<i> a</i>1995, если<i> a<sub>1</sub>=</i>1.
Пусть –1 < <i>x</i><sub>1</sub> < <i>x</i><sub>2</sub> < ... < <i>x<sub>n</sub></i> < 1 и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109716/problem_109716_img_2.gif">
Докажите, что если <i>y</i><sub>1</sub> < <i>y</i><sub>2</sub> < ... < <i>y<sub>n</sub></i>, то <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109716/problem_109716_img_3.gif">
Даны многоугольник, прямая <i>l</i> и точка <i>P</i> на прямой <i>l</i> в общем положении (то есть все прямые, содержащие стороны многоугольника, пересекают <i>l</i> в различных точках, отличных от <i>P</i>). Отметим те вершины многоугольника, для каждой из которых прямые, на которых лежат выходящие из неё стороны многоугольника, пересекают <i>l</i> по разные стороны от точки <i>P</i>. Докажите, что точка <i>P</i> лежит внутри многоугольника тогда и только тогда, когда по каждую сторону от <i>l</i> отмечено нечётное число вершин.
Докажите, что если числа <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>m</sub></i> отличны от нуля и для любого целого <i>k</i> = 0, 1, ..., <i>n</i> (<i>n < m</i> – 1) выполняется равенство:
<i>a</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub>·2<sup><i>k</i></sup> + <i>a</i><sub>3</sub>·3<sup><i>k</i></sup> + ... + <i>a<sub>m</sub>m<sup>k</sup></i> = 0, то в последовательности <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>m</sub></i> ...
На прямой отмечены<i> n </i>различных синих точек и<i> n </i>различных красных точек. Докажите, что сумма попарных расстояний между точками одного цвета не превосходит суммы попарных расстояний между точками разного цвета.