Олимпиадные задачи по математике для 10 класса - сложность 2 с решениями
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены биссектриса <i>AD</i> и высота <i>BE</i>. Докажите, что ∠<i>CED</i> > 45°.
Последовательность чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ... задана условиями <i>a</i><sub>1</sub> = 1, <i>a</i><sub>2</sub> = 143 и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116589/problem_116589_img_2.gif"> при всех <i>n</i> ≥ 2.
Докажите, что все члены последовательности – целые числа.
Из Южной Америки в Россию 2010 кораблей везут бананы, лимоны и ананасы. Число бананов на каждом корабле равно числу лимонов на остальных кораблях вместе взятых, а число лимонов на каждом корабле равно числу ананасов на остальных кораблях вместе взятых. Докажите, что общее число фруктов делится на 31.
Существуют ли такие натуральные числа <i>a, b, c, d</i>, что <i>a</i>³ + <i>b</i>³ + <i>c</i>³ + <i>d</i>³ = 100<sup>100</sup> ?
Ненулевые числа <i>a, b, c</i> таковы, что <i>ax</i>² + <i>bx + c > cx</i> при любом <i>x</i>. Докажите, что <i>cx</i>² – <i>bx + a > cx – b</i> при любом <i>x</i>.
Дан правильный 12-угольник <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A</i><sub>12</sub>.
Можно ли из 12 векторов <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66104/problem_66104_img_2.gif"> выбрать семь, сумма которых равна нулевому вектору?