Олимпиадные задачи по математике для 11 класса - сложность 1-3 с решениями
В пространстве даны<i> n </i>точек общего положения (никакие три не лежат на одной прямой, никакие четыре не лежат в одной плоскости). Через каждые три из них проведена плоскость. Докажите, что какие бы<i> n-</i>3точки в пространстве ни взять, найдется плоскость из проведенных, не содержащая ни одной из этих<i> n-</i>3точек.
Обозначим через <i>S</i>(<i>m</i>) сумму цифр натурального числа <i>m</i>. Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных <i>n</i>, что <i>S</i>(3<i><sup>n</sup></i>) ≥ <i>S</i>(3<sup><i>n</i>+1</sup>).
Длина наибольшей стороны треугольника равна 1. Докажите, что три круга радиуса<i> <img src="/storage/problem-media/109880/problem_109880_img_2.gif"> </i>с центрами в вершинах покрывают весь треугольник.
На прямой расположены2<i>k-</i>1белый и2<i>k-</i>1черный отрезок. Известно, что любой белый отрезок пересекается хотя бы с<i> k </i>черными, а любой черный – хотя бы с<i> k </i>белыми. Докажите, что найдутся черный отрезок, пересекающийся со всеми белыми, и белый отрезок, пересекающийся со всеми черными.
Часть подмножеств некоторого конечного множества выделена. Каждое выделенное подмножество состоит в точности из2<i>k </i>элементов (<i> k </i>– фиксированное натуральное число). Известно, что в каждом подмножестве, состоящем не более чем из(<i>k+</i>1)<i><sup>2</sup> </i>элементов, либо не содержится ни одного выделенного подмножества, либо все в нем содержащиеся выделенные подмножества имеют общий элемент. Докажите, что все выделенные подмножества имеют общий элемент.