Олимпиадные задачи по математике для 1-8 класса

Точечный прожектор, находящийся в вершине <i>B</i> равностороннего треугольника <i>ABC</i>, освещает угол α. Найдите все такие значения α, не превосходящие 60°, что при любом положении прожектора, когда освещенный угол целиком находится внутри угла <i>ABC</i>, из освещенного и двух неосвещенных отрезков стороны <i>AC</i> можно составить треугольник.

Докажите, что для любых положительных чисел <i>x</i> и <i>y</i> справедливо неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109871/problem_109871_img_2.gif">

По кругу записано несколько положительных целых чисел (не менее двух). Среди любых двух соседних чисел какое-то одно больше другого в 2 раза или в 5 раз. Может ли сумма всех этих чисел равняться 2023?

На окружности отмечено 100 точек. Может ли при этом оказаться ровно 1000 прямоугольных треугольников, все вершины которых — отмеченные точки?

Можно ли внутри правильного пятиугольника разместить отрезок, который из всех вершин виден под одним и тем же углом?