Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» для 11 класса - сложность 2 с решениями
Пусть <i>n</i> – натуральное число. На 2<i>n</i> + 1 карточках написано по ненулевому целому числу; сумма всех чисел также ненулевая. Требуется этими карточками заменить звёздочки в выражении *<i>x</i><sup>2<i>n</i></sup> + *<i>x</i><sup>2<i>n</i>–1</sup> + ... *<i>x</i> + * так, чтобы полученный многочлен не имел <i>целых</i> корней. Всегда ли это можно сделать?
В пространстве даны три отрезка <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>, <i>B</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub> и <i>C</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>2</sub>, не лежащие в одной плоскости и пересекающиеся в одной точке <i>P</i>. Обозначим через <i>O<sub>ijk</sub></i> центр сферы, проходящей через точки <i>A<sub>i</sub>, B<sub>j</sub>, C<sub>k</sub></i> и <i>P</i>. Докажите, что прямые <i>O</i><sub>111</sub><i>O</i><sub>222</sub>, <i>O</i><sub>112</sub><i>O</i><sub>2...
Внутри выпуклого 100-угольника выбрана точка <i>X</i>, не лежащая ни на одной его стороне или диагонали. Исходно вершины многоугольника не отмечены. Петя и Вася по очереди отмечают ещё не отмеченные вершины 100-угольника, причём Петя начинает и первым ходом отмечает сразу две вершины, а далее каждый своим очередным ходом отмечает по одной вершине. Проигрывает тот, после чьего хода точка <i>X</i> будет лежать внутри многоугольника с отмеченными вершинами. Докажите, что Петя может выиграть, как бы ни ходил Вася.