Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» для 7-8 класса - сложность 2-3 с решениями
В республике математиков выбрали число α > 2 и выпустили монеты достоинствами в 1 рубль, а также в α<i><sup>k</sup></i> рублей при каждом натуральном <i>k</i>. При этом α было выбрано так, что достоинства всех монет, кроме самой мелкой, иррациональны. Могло ли оказаться, что любую сумму в натуральное число рублей можно набрать этими монетами, используя монеты каждого достоинства не более 6 раз?
Трапеция <i>ABCD</i> с основаниями <i>AB</i> и <i>CD</i> вписана в окружность Ω. Окружность ω проходит через точки <i>C, D</i> и пересекает отрезки <i>CA, CB</i> в точках <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub> соответственно. Точки <i>A</i><sub>2</sub> и <i>B</i><sub>2</sub> симметричны точкам <i>A</i><sub>1</sub> и <i>B</i><sub>1</sub> относительно середин отрезков <i>CA</i> и <i>CB</i> соответственно. Докажите, что точки <i>A, B, A</i><sub>2</sub> и <i>B</i><sub>2</sub> лежат на одной окружности.
К натуральному числу <i>N</i> прибавили наибольший его делитель, меньший <i>N</i>, и получили степень десятки. Найдите все такие <i>N</i>.
Точка <i>M</i> – середина стороны <i>AC</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i>, в котором <i>AB > BC</i>. Касательные к описанной окружности Ω треугольника <i>ABC</i>, проведённые в точках <i>A</i> и <i>C</i>, пересекаются в точке <i>P</i>. Отрезки <i>BP</i> и <i>AC</i> пересекаются в точке <i>S</i>. Пусть <i>AD</i> – высота треугольника <i>BP</i>. Описанная окружность ω треугольника <i>CSD</i> второй раз пересекает окружность Ω в точке <i>K</i>. Докажите, что ∠<i>CKM</i> = 90°.
В выпуклом <i>n</i>-угольнике проведено несколько диагоналей. Проведённая диагональ называется <i>хорошей</i>, если она пересекается (по внутренним точкам) ровно с одной из других проведённых диагоналей. Найдите наибольшее возможное количество хороших диагоналей.
Серёжа выбрал два различных натуральных числа <i>a</i> и <i>b</i>. Он записал в тетрадь четыре числа: <i>a, a</i> + 2, <i>b</i> и <i>b</i> + 2. Затем он выписал на доску все шесть попарных произведений чисел из тетради. Какое наибольшее количество точных квадратов может быть среди чисел на доске?
По кругу расставлены 99 натуральных чисел. Известно, что каждые два соседних числа отличаются или на 1, или на 2, или в два раза.
Докажите, что хотя бы одно из этих чисел делится на 3.