Олимпиадные задачи из источника «Региональный этап» для 11 класса - сложность 2-3 с решениями
Положительные числа <i>x, y, z</i> таковы, что модуль разности любых двух из них меньше 2.
Докажите, что  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110162/problem_110162_img_2.gif"> + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110162/problem_110162_img_3.gif"> + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110162/problem_110162_img_4.gif"> > <i>x + y + z</i>.
В клетки таблицы 100×100 записаны ненулевые цифры. Оказалось, что все 100 стозначных чисел, записанных по горизонтали, делятся на 11. Могло ли так оказаться, что ровно 99 стозначных чисел, записанных по вертикали, также делятся на 11?
Уравнение <i>x<sup>n</sup> + a</i><sub>1</sub><i>x</i><sup><i>n</i>–1</sup> + ... + <i>a</i><sub><i>n</i>–1</sub><i>x + a<sub>n</sub></i> = 0 с целыми ненулевыми коэффициентами имеет <i>n</i> различных целых корней.
Докажите, что если каждые два корня взаимно просты, то и числа <i>a</i><sub><i>n</i>–1</sub> и <i>a<sub>n</sub></i> взаимно просты.
Сумма положительных чисел <i>a, b, c</i> равна <sup>π</sup>/<sub>2</sub>. Докажите, что cos <i>a</i> + cos <i>b</i> + cos <i>c</i> > sin <i>a</i> + sin <i>b</i> + sin <i>c</i>.
Пусть многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a<sub>n</sub>x<sup>n</sup> + a</i><sub><i>n</i>–1</sub><i>x</i><sup><i>n</i>–1</sup> + ... + <i>a</i><sub>0</sub> имеет хотя бы один действительный корень и <i>a</i><sub>0</sub> ≠ 0. Докажите, что, последовательно вычеркивая в некотором порядке одночлены в записи <i>P</i>(<i>x</i>), можно получить из него число <i>a</i><sub>0</sub> так, чтобы каждый промежуточный многочлен также имел хотя бы один действительный корень.
В языке жителей Банановой Республики количество слов превышает количество букв в их алфавите. Докажите, что найдется такое натуральное<i> k </i>, для которого можно выбрать<i> k </i>различных слов, в записи которых используется ровно<i> k </i>различных букв.
Внутри параллелограмма <i>ABCD</i> выбрана точка <i>M</i>, а внутри треугольника <i>AMD</i> точка <i>N</i>, причём ∠<i>MNA</i> + ∠<i> MCB</i> = ∠<i>MND</i> + ∠<i>MBC</i> = 180°.
Докажите, что прямые <i>MN</i> и <i>AB</i> параллельны.