Олимпиадные задачи из источника «2001-2002» - сложность 2 с решениями

Клетки квадрата 9×9 окрашены в красный и белый цвета. Докажите, что найдётся или клетка, у которой ровно два красных соседа по углу, или клетка, у которой ровно два белых соседа по углу (или и то, и другое).

Можно ли все клетки таблицы 9×2002 заполнить натуральными числами так, чтобы суммы чисел в каждом столбце и суммы чисел в каждой строке были бы простыми числами?

Какова наибольшая длина арифметической прогрессии из натуральных чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a_n</i> с разностью 2, обладающей свойством:  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110093/problem_110093_img_2.gif">  – простое при всех  <i>k</i> = 1, 2, ..., <i>n</i>?

Пусть <i>P</i>(<i>x</i>) – многочлен нечётной степени. Докажите, что уравнение  <i>P</i>(<i>P</i>(<i>x</i>)) = 0  имеет не меньше различных действительных корней, чем уравнение  <i>P</i>(<i>x</i>) = 0.

На шахматной доске стоят восемь ладей, не бьющих друг друга. Докажите, что среди попарных расстояний между ними найдутся два одинаковых. (Расстояние между ладьями – это расстояние между центрами клеток, в которых они стоят.)