Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» для 11 класса - сложность 2-3 с решениями

На шахматной доске стоят восемь ладей, не бьющих друг друга. Докажите, что среди попарных расстояний между ними найдутся два одинаковых. (Расстояние между ладьями – это расстояние между центрами клеток, в которых они стоят.)

Докажите, что для любого натурального числа  <i>n</i> > 10000  найдётся такое натуральное число <i>m</i>, представимое в виде суммы двух квадратов, что

 0 < <i>m – n</i> < 3 <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109761/problem_109761_img_2.gif"> .

Многочлены <i>P, Q</i> и <i>R</i> с действительными коэффициентами, среди которых есть многочлен второй степени и многочлен третьей степени, удовлетворяют равенству  <i>P</i>² + <i>Q</i>² = <i>R</i>².  Докажите, что все корни одного из многочленов третьей степени – действительные.