Олимпиадные задачи из источника «1998-1999» - сложность 5 с решениями

В квадрате<i> n</i>×<i>n </i>клеток бесконечной шахматной доски расположены<i> n² </i>фишек, по одной фишке в каждой клетке. Ходом называется перепрыгивание любой фишкой через соседнюю по стороне фишку, непосредственно за которой следует свободная клетка. При этом фишка, через которую перепрыгнули, с доски снимается. Докажите, что позиция, в которой дальнейшие ходы невозможны, возникнет не ранее, чем через[<i><img src="/storage/problem-media/109694/problem_109694_img_2.gif"></i>]ходов.

Окружность, вписанная в четырёхугольник<i> ABCD </i>, касается его сторон<i> DA </i>,<i> AB </i>,<i> BC </i>и<i> CD </i>в точках<i> K </i>,<i> L </i>,<i> M </i>и<i> N </i>соответственно. Пусть<i> S</i>1,<i> S</i>2,<i> S</i>3и<i> S</i>4– окружности, вписанные в треугольники<i> AKL </i>,<i> BLM </i>,<i> CMN </i>и<i> DNK </i>соответственно. К окружностям<i> S</i>1и<i> S</i>2,<i> S</i>2и<i> S</i>3,<i> S</i>3и<i> S</i>4,<i> S</i>4и<i> S</i>1проведены общие касательные, отличные от сторон четырёхугол...