Олимпиадные задачи из источника «1992-1993» для 10 класса - сложность 2 с решениями

Докажите, что для любых действительных чисел <i>a</i> и <i>b</i> справедливо неравенство  <i>a</i>² + <i>ab + b</i>² ≥ 3(<i>a + b</i> – 1).

На доске написано:  <i>x</i>³ + ...<i>x</i>² + ...<i>x</i> + ... = 0.  Два школьника по очереди вписывают вместо многоточий действительные числа. Цель первого – получить уравнение, имеющее ровно один действительный корень. Сможет ли второй ему помешать?

Найдите все натуральные числа <i>n</i>, для которых сумма цифр числа 5<i>ⁿ</i> равна 2<i>ⁿ</i>.