Олимпиадные задачи из источника «Региональный этап» для 7 класса - сложность 2-4 с решениями

На доске написано число 0. Два игрока по очереди приписывают справа к выражению на доске: первый – знак + или<i> - </i>, второй – одно из натуральных чисел от 1 до 1993. Игроки делают по 1993 хода, причем второй записывает каждое из чисел от 1 до 1993 ровно по одному разу. В конце игры второй игрок получает выигрыш, равный модулю алгебраической суммы, написанной на доске. Какой наибольший выигрыш он может себе гарантировать?

Три прямоугольных треугольника расположены в одной полуплоскости относительно данной прямой <i>l</i> так, что один из катетов каждого треугольника лежит на этой прямой. Известно, что существует прямая, параллельная <i>l</i>, пересекающая треугольники по равным отрезкам. Докажите, что если расположить треугольники в одной полуплоскости относительно прямой <i>l</i> так, чтобы другие их катеты лежали на прямой <i>l</i>, то также найдётся прямая, параллельная <i> l </i>, пересекающая их по равным отрезкам.

Найдите наибольшее натуральное число, из которого вычеркиванием цифр нельзя получить число, кратное 11.

Из квадратной доски 1000×1000 клеток удалены четыре прямоугольника 2×994 (см. рис.). <center> <img src="/storage/problem-media/109542/problem_109542_img_2.gif"> </center>На клетке, помеченной звездочкой, стоит<i>кентавр</i>– фигура, которая за один ход может перемещаться на одну клетку вверх, влево или по диагонали вправо и вверх. Двое игроков ходят кентавром по очереди. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре?