Олимпиадные задачи из источника «09 (1986)» для 10 класса

  а) Выбраны 6 различных цветов; требуется раскрасить 6 граней куба, каждую в особый цвет из числа избранных. Сколькими геометрически различными способами можно это сделать? Геометрически различными называются две такие расцветки, которые нельзя совместить одну с другой при помощи вращений куба вокруг его центра.

  б) Решить ту же задачу для случая раскраски граней додекаэдра в 12 различных цветов.

<i>a, b, c, d</i> – стороны четырёхугольника (в любом порядке), <i>S</i> – его площадь. Докажите, что  <i>S</i> ≤ ½ (<i>ab + cd</i>).

Докажите, что произведение ста последовательных натуральных чисел не может быть сотой степенью натурального числа.