Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, основной вариант, 9-10 класс» для 11 класса - сложность 2-5 с решениями

Рассматривается последовательность слов, состоящих из букв "A" и "B". Первое слово в последовательности – "A", <i>k</i>-е слово получается из (<i>k</i>–1)-го с помощью следующей операции: каждое "A" заменяется на "AAB", каждое "B" – на "A". Легко видеть, что каждое слово является началом следующего, тем самым получается бесконечная последовательность букв: AABAABAAABAABAAAB...

  а) На каком месте в этой последовательности встретится 1000-я буква "A"?

  б) Докажите, что эта последовательность – непериодическая.

Куб 20×20×20 составлен из 2000 кирпичей размером 2×2×1.

Докажите, что его можно проткнуть иглой так, чтобы игла прошла через две противоположные грани и не уткнулась в кирпич.